Le courant sans fil : convection, porteurs des deux signes, surface orientée

La stratégie. L'intensité est un débit de charge à travers une surface orientée : on compte la charge qui franchit la surface pendant $\mathrm{d}t$ (c'est la démarche du « cylindre oblique » du cours), ou l'on calcule le flux de $\overrightarrow{j}={\sum }_k{n}_k{q}_k{\overrightarrow{v}}_k$. Aucun fil n'est nécessaire : il suffit que des charges se déplacent.

1) La courroie. Pendant $\mathrm{d}t$, une longueur $v\mathrm{d}t$ de courroie franchit $\Pi$, portant la charge $\lambda v\mathrm{d}t$, positive et transportée dans le sens de $\overrightarrow{n}$. Donc $$I=\frac{\delta q}{\mathrm{d}t}=\lambda v=1,33\times 10^{-6}\times 20=2,66\times 10^{-5}\mathrm{A}\approx 27\mu \mathrm{A}.$$ C'est un courant de convection : des charges liées à un isolant, entraînées mécaniquement. Le brin descendant, déchargé, ne contribue pas. Le moteur fournit le travail qui monte les charges contre la répulsion du dôme.

2) La charge du dôme. Le courant charge le dôme à débit constant : $t=\frac{Q_{\max }}{I}=\frac{7,5\times 10^{-6}}{2,66\times 10^{-5}}\approx 0,28\mathrm{s}$. En réalité, les fuites par l'air et le support limitent la tension atteinte.

3) L'électrolyte. La densité de chaque espèce d'ions vaut $n=c{N}_A=0,10\times 10^3\times 6,02\times 10^{23}=6,02\times 10^{25}{\mathrm{m}}^{-3}$ (la concentration est convertie en $\mathrm{mol}{\mathrm{m}}^{-3}$). Avec $\overrightarrow{u}$ le vecteur unitaire de $\overrightarrow{E}$ : $$\overrightarrow{j}=ne{\overrightarrow{v}}_{+}+n(-e){\overrightarrow{v}}_{-}=ne{v}_{+}\overrightarrow{u}+(-e)n(-v_{-}\overrightarrow{u})=ne(v_{+}+v_{-})\overrightarrow{u}.$$ Les anions, négatifs, vont en sens contraire du champ : le produit de deux signes « moins » donne une contribution dans le sens de $\overrightarrow{E}$. Les deux contributions s'ajoutent. Numériquement, $$j=6,02\times 10^{25}\times 1,60\times 10^{-19}\times 13,1\times 10^{-6}\approx 126\mathrm{A}{\mathrm{m}}^{-2},$$ soit $50\mathrm{A}{\mathrm{m}}^{-2}$ pour les cations et $76\mathrm{A}{\mathrm{m}}^{-2}$ pour les anions : les anions portent $60\%$ du courant ($7,9/13,1$). La conductivité vaut $\gamma =j/E\approx 1,26\mathrm{S}{\mathrm{m}}^{-1}$, $5\times 10^7$ fois moins que le cuivre. La valeur mesurée, $1,07\mathrm{S}{\mathrm{m}}^{-1}$, est inférieure de $15\%$ : les vitesses données sont celles d'ions isolés (solution infiniment diluée), et à $0,1\mathrm{mol}{\mathrm{L}}^{-1}$ les interactions entre ions les freinent.

4) La puissance volumique. $p=\overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{E}=ne{v}_{+}E+ne{v}_{-}E$ : chaque terme est positif, parce que chaque ion se déplace dans le sens de la force qu'il subit ($+e\overrightarrow{E}$ pour le cation, $-e\overrightarrow{E}$ pour l'anion). Le champ cède de l'énergie aux deux espèces. $p=126\times 100\approx 1,3\times 10^4\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-3}$ : la solution s'échauffe.

5) Le cylindre tournant. Le cylindre tourne en bloc : la charge située en $(r,\theta ,z)$ a la vitesse $\overrightarrow{v}=r\omega {\overrightarrow{u}}_{\theta }$, donc $$\overrightarrow{j}=\rho \overrightarrow{v}=\rho \omega r{\overrightarrow{u}}_{\theta }.$$ Le demi-plan $\theta ={\theta }_0$ se découpe en bandes verticales de largeur $\mathrm{d}r$ et de hauteur $h$, d'élément de surface $\mathrm{d}\overrightarrow{S}=h\mathrm{d}r{\overrightarrow{u}}_{\theta }$. Donc $$I={\int }_0^R\rho \omega rh\mathrm{d}r=\frac{\rho \omega h{R}^2}{2}.$$ Vérification par le comptage : en un tour, de durée $T=2\pi /\omega$, chaque charge du cylindre traverse le demi-plan une fois et une seule ; la charge totale $\rho \pi R^{2}h$ le traverse donc par période, et $I=\frac{\rho \pi R^{2}h}{2\pi /\omega }=\frac{\rho \omega h{R}^2}{2}$. Orienté par $-{\overrightarrow{u}}_{\theta }$, le même demi-plan est traversé par l'intensité $-I$ : le signe de l'intensité n'existe qu'avec une orientation. À travers une section droite, orientée par ${\overrightarrow{u}}_z$, $\overrightarrow{j}\cdot {\overrightarrow{u}}_z=0$ : intensité nulle. Ce courant tourne comme celui des spires d'une bobine (magnétostatique).

Ce que l'exercice installe. L'intensité est le débit de charge à travers une surface orientée, quels que soient le porteur et le mécanisme : convection d'un isolant chargé, conduction ionique, rotation. On la calcule en comptant ce qui traverse pendant $\mathrm{d}t$ ou par le flux de $\overrightarrow{j}$, et l'on vérifie l'un par l'autre. Des porteurs de signes opposés dérivant en sens opposés ajoutent leurs contributions à $\overrightarrow{j}$, et le champ cède de la puissance à chacun.