Régime stationnaire : le flux de $\overrightarrow{j}$ se conserve… sauf là où la charge s'accumule

La stratégie. Le bilan intégral $\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=-\oint \oint \overrightarrow{j}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}$ s'applique à toute surface fermée fixe. Si la charge intérieure ne varie pas, le flux sortant de $\overrightarrow{j}$ est nul : c'est la loi des nœuds, sous sa forme générale. Si la charge intérieure varie, le flux n'est pas nul, et c'est le bilan qui donne cette variation.

1) La jonction. On entoure la jonction d'une surface fermée formée de la section $S_1$, de la section $S_2$ et de la surface latérale des fils. Aucun courant ne sort par la surface latérale ; en régime stationnaire la charge intérieure est constante, donc le flux sortant est nul : $-j_1{S}_1+j_2{S}_2=0$. Numériquement, $j_1=\frac{10}{2,5\times 10^{-6}}=4,0\times 10^6\mathrm{A}{\mathrm{m}}^{-2}$ et $j_2=1,0\times 10^7\mathrm{A}{\mathrm{m}}^{-2}$. Avec $v=j/(ne)$, même $n$ : $v_1=\frac{4,0\times 10^6}{1,36\times 10^{10}}\approx 0,29\mathrm{mm}{\mathrm{s}}^{-1}$, $v_2\approx 0,73\mathrm{mm}{\mathrm{s}}^{-1}$, et $\frac{v_1}{v_2}=\frac{S_2}{S_1}=0,4$ : les porteurs vont plus vite dans le rétrécissement.

2a) La tension accélératrice. Le théorème de l'énergie cinétique pour un électron parti sans vitesse donne $eU=\frac{1}{2}m{v}^2$, d'où $$U=\frac{m{v}^2}{2e}=\frac{9,11\times 10^{-31}\times {\left(3,0\times 10^7\right)}^2}{2\times 1,60\times 10^{-19}}\approx 2,56\times 10^3\mathrm{V}.$$ $v/c=0,1$ : le facteur de Lorentz vaut $1,005$, la correction relativiste est inférieure au pour cent.

2b) Densités dans le faisceau. Dans le faisceau, une seule espèce de porteurs : $j=|\rho |v$, donc $|\rho |=\frac{I}{vS}=\frac{1,5\times 10^{-3}}{3,0\times 10^7\times 10^{-6}}=5,0\times 10^{-5}\mathrm{C}{\mathrm{m}}^{-3}$, avec $\rho <0$, et $n=|\rho |/e\approx 3,1\times 10^{14}{\mathrm{m}}^{-3}$. Le faisceau n'est pas neutre : aucun ion n'y compense la charge des électrons, contrairement au métal.

2c) L'accumulation. On fait le bilan sur la portion de faisceau comprise entre deux sections : rien ne sort latéralement, la charge intérieure est constante en régime stationnaire, donc la même intensité traverse toutes les sections : $|\rho |vS=I$. À section égale, $nv$ est constant : la densité est inversement proportionnelle à la vitesse. Après une accélération sous $10\mathrm{V}$ : $$v^{\prime }=\sqrt{\frac{2e{U}^{\prime }}{m}}=\sqrt{\frac{2\times 1,60\times 10^{-19}\times 10}{9,11\times 10^{-31}}}\approx 1,9\times 10^6\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1},$$ d'où $$n^{\prime }=n\frac{v}{v^{\prime }}\approx 16n\approx 5,0\times 10^{15}{\mathrm{m}}^{-3}.$$ La charge s'accumule là où les porteurs sont lents, comme les voitures devant un péage. Près de la cathode, cette charge négative d'électrons lents repousse les électrons qui sont émis : elle limite le courant que le canon peut fournir (c'est l'effet de « charge d'espace »).

2d) Le fil de cuivre. À même intensité et même section, $n_{\mathrm{Cu}}{v}_{\mathrm{Cu}}=nv$. Avec $n_{\mathrm{Cu}}=8,5\times 10^{28}{\mathrm{m}}^{-3}$, soit $2,7\times 10^{14}$ fois plus de porteurs, la vitesse de dérive vaut $v_{\mathrm{Cu}}=\frac{I}{n_{\mathrm{Cu}}eS}\approx 1,1\times 10^{-7}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, $2,7\times 10^{14}$ fois plus faible. Beaucoup de porteurs lents ou peu de porteurs rapides : seul le produit $nqv$ compte.

3a) La surface ${\Sigma }_1$. Entre les armatures règne le vide : aucun porteur, $\overrightarrow{j}=\overrightarrow{0}$. Seul le fil qui arrive en $A$ traverse ${\Sigma }_1$, et le courant y entre : le flux sortant vaut $-I(t)$, non nul. Le bilan donne $\frac{\mathrm{d}{Q}_A}{\mathrm{d}t}=I(t)$, d'où, avec $Q_A(0)=0$, $$Q_A(t)={\int }_0^t{I}_0{\mathrm{e}}^{-t^{\prime }/\theta }\mathrm{d}{t}^{\prime }=I_0\theta \left(1-{\mathrm{e}}^{-t/\theta }\right),$$ qui tend vers $I_0\theta =10^{-2}\times 10^{-3}=1,0\times 10^{-5}\mathrm{C}=10\mu \mathrm{C}$.

3b) La surface ${\Sigma }_2$. Elle coupe les deux fils : le courant $I$ entre par l'un et sort par l'autre, le flux sortant vaut $-I+I=0$. Donc $Q_A+Q_B$ reste constant, nul : $Q_B=-Q_A$.

3c) La loi des nœuds. Elle vaut pour toute surface fermée à l'intérieur de laquelle la charge ne varie pas : ${\Sigma }_2$, et toute surface entourant un nœud d'un circuit, où les conducteurs restent neutres. Elle est fausse pour ${\Sigma }_1$, qui coupe l'espace entre les armatures. Le régime n'est pas stationnaire ($I$ varie), et pourtant la loi des nœuds reste vraie pour les surfaces qui n'entourent pas une seule armature : « le même courant parcourt tout le circuit série ». Que rien ne traverse le vide entre les armatures pose une question que les équations de Maxwell résoudront (Maxwell-Ampère).

Ce que l'exercice installe. En régime stationnaire, le flux de $\overrightarrow{j}$ se conserve : même intensité à travers toutes les sections d'un tube de courant, d'où $nv=\mathrm{cste}$ à section fixe et l'accumulation de charge là où les porteurs ralentissent. En régime variable, la loi des nœuds vaut pour les surfaces à l'intérieur desquelles la charge ne varie pas ; elle tombe pour une surface qui entoure une armature de condensateur, et le bilan donne alors la charge accumulée.