Temps de relaxation diélectrique — exercice corrigé d'électromagnétisme (MPI) (chapitre 1)

Temps de relaxation diélectrique

Sources du champ électromagnétique · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Dans un milieu conducteur ohmique de conductivité $γ$ et de permittivité $ε_{0}$ , on admet que $div E = ρ / ε_{0}$ (équation de Maxwell--Gauss, établie au chapitre 4). Montrer qu'un excès local de charge $ρ$ décroît exponentiellement et calculer la constante de temps $τ_{d}$ , appelée temps de relaxation diélectrique, pour le cuivre. La comparer au temps de relaxation $τ$ du modèle de Drude (exercice 4). Que vaut-elle pour un sol humide, $γ = 1 \times 1 0^{- 2} S / m$ ?

Corrigé

Combinons l'équation de continuité, la loi d'Ohm et Maxwell--Gauss :

$\frac{\partial ρ}{\partial t} = - div j = - γ div E = - γ \frac{ρ}{ε _{0}} .$

D'où $\frac{\partial ρ}{\partial t} = - \frac{ρ}{τ _{d}}$ avec $τ_{d} = \frac{ε _{0}}{γ}$ , soit $ρ (M, t) = ρ (M, 0) e^{- t / τ_{d}}$ . Pour le cuivre :

$τ_{d} = \frac{ε _{0}}{γ} = \frac{8.85 \times 1 0 ^{- 12}}{5.9 \times 1 0 ^{7}} \approx 1.5 \times 1 0^{- 19} s .$

Deux temps de relaxation à ne pas confondre. Le temps $τ \approx 2.5 \times 1 0^{- 14} s$ de Drude décrit les collisions des électrons ; $τ_{d}$ décrit l'évacuation d'une charge volumique ; ils diffèrent d'un facteur $τ / τ_{d} \approx 1.7 \times 1 0^{5}$ . Pour le cuivre, $τ_{d}$ est même bien plus court que $τ$ : à cette échelle de temps, la loi d'Ohm statique ne s'applique plus et la valeur obtenue n'est qu'indicative. La conclusion demeure : un excès de charge dans le volume d'un bon conducteur disparaît en un temps inobservable, c'est pourquoi on considère $ρ = 0$ dans le volume d'un conducteur, la charge résidant en surface. Pour un sol humide, $τ_{d} = 8.85 \times 1 0^{- 12} /1 0^{- 2} \approx 9 \times 1 0^{- 10} s$ , de l'ordre de la nanoseconde : très court devant la centaine de microsecondes d'un éclair, ce qui justifie le régime stationnaire à chaque instant admis au problème des travaux dirigés.