Champ sur l'axe d'un anneau chargé — exercice corrigé d'électromagnétisme (MPI) (chapitre 2)

Champ sur l'axe d'un anneau chargé

Électrostatique · niveau 2

Énoncé

Un anneau de rayon $R$ , de charge totale $Q > 0$ uniformément répartie, est centré en $O$ dans le plan $x O y$ . Déterminer $E$ en un point $M$ de l'axe $O z$ , à la cote $z$ . Où le champ est-il maximal sur l'axe ?

Corrigé

Tout plan contenant $O z$ est plan de symétrie : en $M$ , $E = E (z) u_{z}$ . Par superposition, un élément $d q$ de l'anneau, situé à la distance $d = R^{2} + z^{2}$ de $M$ , crée un champ dont seule compte la projection sur $O z$ , $\frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{d q}{d ^{2}} cos α$ avec $cos α = z / d$ . Tous les éléments étant à la même distance, la somme est immédiate :

$E (z) = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{z}{( R ^{2} + z ^{2} ) ^{3/2}} \int d q = \frac{Q z}{4 π ε _{0} ( R ^{2} + z ^{2} ) ^{3/2}} .$

Vérifications : $E (0) = 0$ (symétrie) ; pour $z ≫ R$ , $E ≃ Q / (4 π ε_{0} z^{2})$ , la charge ponctuelle vue de loin. Maximum : $\frac{d E}{d z} \propto (R^{2} + z^{2}) - 3 z^{2} = 0$ pour $z = R / 2$ , où $E_{m a x} = \frac{2}{3 3} \frac{Q}{4 π ε _{0} R ^{2}} \approx 0, 38 \frac{Q}{4 π ε _{0} R ^{2}}$ .