Gauss pour la gravitation : le tunnel à travers la Terre et le maximum de $g$

La stratégie. L'analogie ($\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\to -G$, $q\to m$) permet de traiter Gauss gravitationnel comme son modèle électrique. Le champ intérieur, proportionnel à $\overrightarrow{CM}$, fait du tunnel un oscillateur harmonique ; pour la Terre réelle, seule compte la masse intérieure.

1) Le champ d'une boule homogène. Par symétrie sphérique, $\overrightarrow{\mathcal{G}}=-g(r){\overrightarrow{u}}_r$ (attractif). Sur la sphère de rayon $r$ : $-g(r)4\pi r^2=-4\pi G{M}_{\text{int}}$. Pour $r\ge R_T$, $M_{\text{int}}=M_T$ et $g=\frac{G{M}_T}{r^2}=g_0\frac{R_T^2}{r^2}$. Pour $r\le R_T$, $M_{\text{int}}=M_T\frac{r^3}{R_T^3}$ et $$g(r)=\frac{G{M}_{T}r}{R_T^3}=g_0\frac{r}{R_T},\text{soit}\overrightarrow{\mathcal{G}}=-\frac{g_0}{R_T}\overrightarrow{CM}.$$ Exactement comme $\overrightarrow{E}=\frac{\rho }{3{\epsilon }_0}\overrightarrow{OM}$ dans la boule chargée, au signe près : la gravitation est toujours attractive.

2) Le tunnel : 84 minutes, quelle que soit la corde. Le poids $m\overrightarrow{\mathcal{G}}$ et la réaction des parois, perpendiculaire au tunnel, s'exercent sur l'objet. Projetons sur le vecteur unitaire $\overrightarrow{u}$ du tunnel, avec $\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CH}+x\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{CH}\perp \overrightarrow{u}$ : $$m\ddot{x}=-\frac{m{g}_0}{R_T}\overrightarrow{CM}\cdot \overrightarrow{u}=-\frac{m{g}_0}{R_T}x⟹\ddot{x}+\frac{g_0}{R_T}x=0.$$ Mouvement sinusoïdal autour de $H$, de pulsation $\omega =\sqrt{g_0/R_T}$, et de période $$T=2\pi \sqrt{\frac{R_T}{g_0}}\approx 5,06\times 10^3\mathrm{s}\approx 84\min ,$$ indépendante de $h$ : la composante de la pesanteur le long du tunnel ne dépend que de $x$. La traversée dure $T/2\approx 42\min$, de Paris à Londres comme de Paris à Sydney. La vitesse maximale, au milieu, vaut $\omega \sqrt{R_T^2-h^2}$ ; pour un diamètre, $v_{\max }=\sqrt{g_0{R}_T}\approx 7,9\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}$. L'orbite rasante ($v^2/R_T=g_0$) a la même vitesse et la même période $2\pi R_T/v$ : le mouvement dans le tunnel diamétral est la projection du mouvement circulaire du satellite rasant. Négligés : frottements, rotation de la Terre (Coriolis), inhomogénéité (questions suivantes).

3) Le modèle à deux couches : $g$ est maximal à la surface du noyau. Masse : $$M=\frac{4}{3}\pi \left[{\rho }_c{r}_c^3+{\rho }_m\left(R_T^3-r_c^3\right)\right]\approx 5,98\times 10^{24}\mathrm{kg},$$ soit une masse volumique moyenne $\bar{\rho }\approx 5,52\times 10^3\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-3}$ : le modèle est cohérent. Dans le noyau, $g=\frac{4}{3}\pi G{\rho }_{c}r$, linéaire, jusqu'à $$g(r_c)=\frac{4}{3}\pi \times 6,67\times 10^{-11}\times 1,10\times 10^4\times 3,48\times 10^6\approx 10,7\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2},$$ et à la surface $g(R_T)=GM/R_T^2\approx 9,83\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$. Dans le manteau, $g(r)=\frac{G}{r^2}\left[M_c+\frac{4}{3}\pi {\rho }_m\left(r^3-r_c^3\right)\right]$ : en descendant depuis la surface, $g$ diminue d'abord jusqu'à un minimum d'environ $9,3\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$ vers $r\approx 4990\mathrm{km}$ (à $1400\mathrm{km}$ de profondeur), puis augmente jusqu'à son maximum, $10,7\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$, à la limite du noyau, à $2890\mathrm{km}$ de profondeur. Contrairement au modèle homogène, le maximum de $g$ n'est pas à la surface : la masse est concentrée au centre.

4) Le critère des deux tiers. Avec $g=\frac{Gm(r)}{r^2}$ et $\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}r}=4\pi r^2\rho (r)$ (masse d'une coquille d'épaisseur $\mathrm{d}r$) : $$\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}r}=4\pi G\rho (r)-\frac{2Gm(r)}{r^3}=4\pi G\left(\rho (r)-\frac{2}{3}\bar{\rho }(r)\right),\bar{\rho }(r)=\frac{m(r)}{\frac{4}{3}\pi r^3}.$$ $g$ augmente quand on descend ($\mathrm{d}g/\mathrm{d}r<0$) là où la masse volumique locale est inférieure aux deux tiers de la masse volumique moyenne de ce qui est en dessous : en descendant, on perd l'attraction d'une couche peu dense, mais on se rapproche d'un centre dense. Modèle à deux couches : à la surface, $\frac{2}{3}\bar{\rho }=3,68\times 10^3<{\rho }_m=4,45\times 10^3$, donc $g$ diminue en descendant ; le minimum est atteint où $\bar{\rho }(r)=\frac{3}{2}{\rho }_m=6,67\times 10^3\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-3}$, ce qui redonne $r\approx 4990\mathrm{km}$. Vraie Terre : la croûte et le haut du manteau ($2,7$ à $3,3\times 10^3$) sont moins denses que $3,68\times 10^3$ : $g$ augmente légèrement quand on descend sous la surface, ce que confirment les mesures dans les mines profondes ; et, la densité du manteau croissant avec la profondeur, $g$ y varie peu, entre $9,8$ et $10\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$ sur la plus grande partie de son épaisseur, avant d'atteindre son maximum, $10,7\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$, à la limite du noyau.

Ce que l'exercice installe. L'analogie électrostatique-gravitation est opératoire : même théorème de Gauss, mêmes surfaces, mêmes résultats, au signe près. Le champ intérieur d'une boule homogène, proportionnel à la distance au centre, donne un oscillateur harmonique de période $2\pi \sqrt{R_T/g_0}$, celle de l'orbite rasante. Et un réflexe : seule compte la masse intérieure ; le critère $\rho <\frac{2}{3}\bar{\rho }$ dit où $g$ augmente en descendant.