Superposition : une cavité où le champ est uniforme

La stratégie. La boule percée est la somme de deux distributions à symétrie sphérique : une boule pleine de densité $\rho$ et une petite boule de densité $-\rho$ qui « bouche » la cavité. La superposition fait le reste.

1) Pas de surface de Gauss. La boule percée n'est invariante que par les rotations autour de $(O{O}^{\prime })$ : le champ dépend de deux variables (distance à l'axe, position le long de l'axe), et aucune surface ne le rend constant et normal.

2) Boule pleine, forme vectorielle. Par symétrie sphérique, $\overrightarrow{E}=E(r){\overrightarrow{u}}_r$ ; sur la sphère de Gauss de rayon $r\le R$, $E(r)4\pi r^2=\frac{\rho \frac{4}{3}\pi r^3}{{\epsilon }_0}$, soit $E(r)=\frac{\rho r}{3{\epsilon }_0}$. Comme $r{\overrightarrow{u}}_r=\overrightarrow{OM}$ : $$\overrightarrow{E}(M)=\frac{\rho }{3{\epsilon }_0}\overrightarrow{OM}(OM\le R).$$ La forme vectorielle est la clé : elle s'additionne d'un centre à l'autre.

3) Un champ uniforme dans la cavité. La boule percée est la superposition de la boule pleine (centre $O$, rayon $R$, densité $\rho$) et de la petite boule (centre $O^{\prime }$, rayon $a$, densité $-\rho$) : dans la cavité, $\rho -\rho =0$ ; ailleurs dans la grande boule, $\rho$. Un point $M$ de la cavité est intérieur aux deux boules : $$\overrightarrow{E}(M)=\frac{\rho }{3{\epsilon }_0}\overrightarrow{OM}+\frac{-\rho }{3{\epsilon }_0}\overrightarrow{O^{\prime }M}=\frac{\rho }{3{\epsilon }_0}\left(\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{O^{\prime }M}\right)=\frac{\rho }{3{\epsilon }_0}\overrightarrow{O{O}^{\prime }}=\frac{\rho \overrightarrow{d}}{3{\epsilon }_0}.$$ Le champ est uniforme : il ne dépend ni de la position de $M$ dans la cavité, ni du rayon $a$ de la cavité, ni du rayon $R$ de la boule ; seulement du décalage $\overrightarrow{d}$, dont il a la direction et le sens (pour $\rho >0$). Les lignes de champ dans la cavité sont des droites parallèles à $\overrightarrow{d}$, équidistantes ; les équipotentielles sont des plans perpendiculaires à $\overrightarrow{d}$. Cas limite : pour $\overrightarrow{d}\to \overrightarrow{0}$, $\overrightarrow{E}=\overrightarrow{0}$, ce que Gauss donne directement pour une cavité centrée (aucune charge intérieure).

4) Hors de la cavité. Pour un point $M$ de la matière ($O^{\prime }M>a$, $OM<R$), $M$ est intérieur à la grande boule et extérieur à la petite, qui agit comme une charge ponctuelle $q^{\prime }=-\frac{4}{3}\pi a^3\rho$ placée en $O^{\prime }$ : $$\overrightarrow{E}(M)=\frac{\rho }{3{\epsilon }_0}\overrightarrow{OM}-\frac{\rho a^3}{3{\epsilon }_0}\frac{\overrightarrow{O^{\prime }M}}{O^{\prime }{M}^3}.$$ Sur la paroi de la cavité ($O^{\prime }M=a$), le second terme vaut $-\frac{\rho }{3{\epsilon }_0}\overrightarrow{O^{\prime }M}$ : c'est l'expression de la question 3, le champ est continu, comme il se doit en l'absence de charge surfacique. À l'extérieur ($OM>R$), les deux boules agissent comme des charges ponctuelles $Q=\frac{4}{3}\pi R^3\rho$ en $O$ et $q^{\prime }$ en $O^{\prime }$ : $$\overrightarrow{E}(M)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\left(Q\frac{\overrightarrow{OM}}{O{M}^3}+q^{\prime }\frac{\overrightarrow{O^{\prime }M}}{O^{\prime }{M}^3}\right).$$

5) La différence de potentiel. Le champ étant uniforme, la circulation de $M_1$ à $M_2$ se calcule sur le segment $[M_1{M}_2]$, entièrement dans la cavité, qui est convexe : $$V(M_1)-V(M_2)={\int }_{M_1}^{M_2}\overrightarrow{E}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\ell }=\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{M_1{M}_2}=\frac{\rho }{3{\epsilon }_0}\overrightarrow{d}\cdot \overrightarrow{M_1{M}_2}.$$ Elle est nulle si $\overrightarrow{M_1{M}_2}\perp \overrightarrow{d}$ (même plan équipotentiel), maximale, $\frac{2\rho da}{3{\epsilon }_0}$, entre les deux points de la paroi alignés avec $\overrightarrow{d}$.

6) Le cylindre. Dans un cylindre plein uniformément chargé, Gauss sur un cylindre coaxial de rayon $r$ et de hauteur $h$ donne $E(r)2\pi rh=\frac{\rho \pi r^{2}h}{{\epsilon }_0}$, soit $\overrightarrow{E}=\frac{\rho }{2{\epsilon }_0}\overrightarrow{HM}$, où $H$ est le projeté de $M$ sur l'axe. La même superposition donne, dans la cavité, $$\overrightarrow{E}=\frac{\rho }{2{\epsilon }_0}\left(\overrightarrow{HM}-\overrightarrow{H^{\prime }M}\right)=\frac{\rho \overrightarrow{d}}{2{\epsilon }_0},$$ uniforme encore, avec un facteur $\frac{1}{2}$ au lieu de $\frac{1}{3}$. Le facteur est l'inverse du nombre de directions dans lesquelles la distribution s'étend « en volume » autour du point : $\rho r/3{\epsilon }_0$ pour la boule, $\rho r/2{\epsilon }_0$ pour le cylindre, et $\rho z/{\epsilon }_0$ pour une couche plane épaisse.

Ce que l'exercice installe. Décomposer une distribution sans symétrie en distributions qui en ont, quitte à introduire une densité négative fictive ; écrire les champs de Gauss sous forme vectorielle, la seule qui s'additionne d'un centre à l'autre. Le résultat est une surprise physique : un champ uniforme sans armatures, dans une cavité sphérique (ou cylindrique) de taille et de position quelconques.