Symétries et invariances : ce qu'elles disent, ce qu'elles taisent

La stratégie. Une invariance dit de quelles variables le champ ne dépend pas. Un plan de symétrie passant par le point contient le champ, un plan d'antisymétrie lui est orthogonal ; deux plans de symétrie le placent sur leur intersection, trois qui ne se coupent qu'en ce point l'annulent. Gauss ne donne la norme que sur une surface où le champ est constant et normal (ou tangent) ; sinon, l'égalité reste vraie mais ne livre qu'une intégrale.

(a) Le segment : une direction, et la validité du modèle infini. Invariance par rotation autour de l'axe, pas par translation (le segment a des extrémités). Symétries en $M$ : le plan médiateur et le plan qui contient le segment et $M$ ; $\overrightarrow{E}(M)$ est porté par leur intersection $(HM)$, vers l'extérieur pour $\lambda >0$. Gauss : sur un cylindre coaxial, le champ varie le long de la paroi et traverse les bases ; le flux ne s'écrit pas « $E$ fois une aire ». Le modèle infini : la formule admise tend vers $\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}d}$ quand $L\to \infty$, et $$\frac{E}{E_{\text{fil infini}}}=\frac{1}{\sqrt{1+d^2/L^2}}\ge 0,99⟺\frac{d}{L}\le \sqrt{\frac{1}{0,99^2}-1}=0,1425.$$ Pour un fil de $1\mathrm{m}$ ($L=0,50\mathrm{m}$), le modèle infini est exact à $1\%$ près jusqu'à $d=7,1\mathrm{cm}$ du fil, au voisinage de son milieu. « Infini » veut dire long devant la distance d'observation, et loin des extrémités.

(b) La demi-boule : la symétrie donne une direction, pas la nullité. Invariance par rotation autour de l'axe $(Oz)$ perpendiculaire à la face plane. Symétries en $O$ : tous les plans contenant $(Oz)$ ; donc $\overrightarrow{E}(O)=E_z{\overrightarrow{u}}_z$. Le plan de la face plane, lui, n'est pas plan de symétrie (toute la charge est d'un seul côté) : rien n'impose $E_z=0$. Et $E_z\ne 0$ : chaque charge élémentaire, située dans le demi-espace $z>0$, crée en $O$ un champ dirigé de la charge vers $O$, de composante $z$ négative ; toutes ces composantes ont le même signe et ne peuvent se compenser. $\overrightarrow{E}(O)$ est donc non nul, dirigé selon $-{\overrightarrow{u}}_z$, en s'éloignant de la demi-boule. (Le calcul direct, une intégrale simple en coordonnées sphériques qui n'est pas demandée, donne $\rho R/4{\epsilon }_0$.) Pour la boule entière, les deux moitiés donnent en $O$ des champs opposés : $\overrightarrow{E}(O)=\overrightarrow{0}$. Gauss est inutilisable.

(c) Deux fils opposés : un plan d'antisymétrie, et $V=0$ dessus. Invariance par translation parallèle aux fils. Symétries en $M$ : le plan de section passant par $M$ est plan de symétrie ; le plan médiateur ${\Pi }^{\ast }$ échange $+\lambda$ et $-\lambda$ : plan d'antisymétrie, donc $\overrightarrow{E}(M)\perp {\Pi }^{\ast }$. Le champ est parallèle à la droite qui joint les fils, du fil $+\lambda$ vers le fil $-\lambda$. Potentiel : $V=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_0}\ln \frac{r_{-}}{r_{+}}$ ($r_{\pm }$ distances aux fils), la constante étant nulle avec $V=0$ à l'infini, ce qui est permis car $r_{-}/r_{+}\to 1$ (impossible pour un fil seul). Sur ${\Pi }^{\ast }$, $r_{+}=r_{-}$ : $V=0$, un plan d'antisymétrie est équipotentiel. Norme : Gauss s'applique à chaque fil ; avec $r=\sqrt{b^2+h^2}$, les composantes perpendiculaires à ${\Pi }^{\ast }$ s'ajoutent, chacune valant $\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}r}\cdot \frac{b}{r}$ : $$E(M)=\frac{\lambda b}{\pi {\epsilon }_0(b^2+h^2)}.$$ Cas limite : pour $h\gg b$, $E\propto 1/h^2$, plus vite que le champ d'un fil, car l'ensemble est neutre.

(d) Le cube : zéro au centre, la diagonale sur la diagonale. Invariances : aucune qui supprime une variable. En $\Omega$ : les trois plans médians du cube, parallèles aux faces, sont plans de symétrie et ne se coupent qu'en $\Omega$ : $\overrightarrow{E}(\Omega )=\overrightarrow{0}$. En $P$ : les trois plans « diagonaux » qui contiennent la grande diagonale (chacun contient deux arêtes opposées du cube) sont plans de symétrie ; leur intersection est la diagonale : $\overrightarrow{E}(P)$ est porté par la grande diagonale, dirigé en s'éloignant de $\Omega$. Gauss est inutilisable : le champ n'est constant sur aucune surface fermée simple.

2) Les trois cartes. (A) est compatible. Les lignes divergent des deux fils et partent à l'infini ; la carte est symétrique par rapport au plan médiateur, plan de symétrie, où les lignes, issues du point de champ nul central, restent contenues, et par rapport au plan des fils. (B) est incompatible. Le long d'une ligne de champ fermée, orientée dans le sens du champ, $\overrightarrow{E}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\ell }=E\mathrm{d}\ell >0$ en tout point, donc $\oint \overrightarrow{E}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\ell }>0$ ; or la circulation du champ électrostatique sur un contour fermé est nulle. Une ligne de champ électrostatique ne se referme jamais sur elle-même. (Cette carte est celle du champ magnétique d'un fil parcouru par un courant : c'est la magnétostatique.) (C) est compatible. Les lignes partent de $+\lambda$ et aboutissent sur $-\lambda$ ; elles traversent le plan médiateur ${\Pi }^{\ast }$ perpendiculairement, comme l'exige l'antisymétrie (question 1c), et la carte est symétrique par rapport au plan des fils.

Ce que l'exercice installe. Le réflexe en deux temps : invariances, donc variables ; symétries au point considéré, donc direction. La symétrie ne donne jamais une valeur, et ne donne la nullité que si trois plans de symétrie se coupent en un seul point. Un plan d'antisymétrie rend le champ normal et le potentiel nul. Gauss exige une surface où le champ est constant, ou une superposition. Et une carte de champ électrostatique n'a ni ligne fermée, ni violation des symétries des sources.