Équation de Laplace entre deux cylindres coaxiaux

Équations de Maxwell · niveau 2

Énoncé

Deux cylindres conducteurs coaxiaux, de rayons $R_{1} = 1.0 mm$ et $R_{2} = 5.0 mm$ , sont portés aux potentiels $U = 100 V$ (intérieur) et $0$ (extérieur) ; l'espace entre eux est vide de charges. On admet que $V$ ne dépend que de la distance $r$ à l'axe et que, dans ce cas, $Δ V = \frac{1}{r} \frac{d}{d r} (r \frac{d V}{d r})$ . Déterminer $V (r)$ et $E (r)$ ; vérifier le résultat par le théorème de Gauss et en déduire la capacité par unité de longueur. Calculer $E (R_{1})$ , $E (R_{2})$ et $V (2 mm)$ .

Corrigé

Entre les cylindres, $ρ = 0$ : $V$ vérifie l'équation de Laplace, $\frac{d}{d r} (r \frac{d V}{d r}) = 0$ , donc $r \frac{d V}{d r} = A$ et $V = A ln r + B$ . Les conditions $V (R_{1}) = U$ et $V (R_{2}) = 0$ donnent

$V (r) = U \frac{ln ( R _{2} / r )}{ln ( R _{2} / R _{1} )}, E = - \frac{d V}{d r} u_{r} = \frac{U}{r ln ( R _{2} / R _{1} )} u_{r} .$

Vérification : le théorème de Gauss, avec une charge $λ$ par unité de longueur sur le cylindre intérieur, donne $E = \frac{λ}{2 π ε _{0} r}$ ; les deux expressions coïncident pour $λ = \frac{2 π ε _{0} U}{ln ( R _{2} / R _{1} )}$ , d'où la capacité linéique $C^{'} = \frac{λ}{U} = \frac{2 π ε _{0}}{ln ( R _{2} / R _{1} )} \approx 34.6 pF / m$ . Valeurs : $ln 5 \approx 1, 609$ , $E (R_{1}) \approx 62 kV / m$ , $E (R_{2}) \approx 12 kV / m$ , $V (2 mm) \approx 57 V$ : le potentiel n'est pas affine, il chute surtout près du conducteur intérieur, où le champ est le plus intense. C'est la géométrie du câble coaxial du problème du TD.