Équation de Poisson gravitationnelle et Terre homogène

Équations de Maxwell · niveau 2

Énoncé

Le champ de gravitation vérifie $div G = - 4 π G μ$ et $G = - grad ϕ$ .

Établir l'équation de Poisson gravitationnelle vérifiée par $ϕ$ , par analogie avec l'électrostatique.
On modélise la Terre par une boule homogène de rayon $R$ et de masse volumique $μ$ . En utilisant le laplacien sphérique de l'exercice 5, déterminer $G (r)$ à l'intérieur ( $ϕ$ étant régulier au centre), puis à l'extérieur.
Avec $g_{0} = 9.81 m / s^{2}$ à la surface, $R = 6371 km$ et $G = 6.674 \times 1 0^{- 11} m^{3} / kg / s^{2}$ , calculer $μ$ .

$div (- grad ϕ) = - Δ ϕ = - 4 π G μ$ , soit $Δ ϕ = 4 π G μ$ . C'est l'équation de Poisson de l'électrostatique avec les correspondances $\frac{1}{ε _{0}} \leftrightarrow - 4 π G$ et $ρ \leftrightarrow μ$ .
À l'intérieur, $\frac{1}{r ^{2}} \frac{d}{d r} (r^{2} \frac{d ϕ}{d r}) = 4 π G μ$ donne $r^{2} \frac{d ϕ}{d r} = \frac{4 π G μ r ^{3}}{3} + K$ ; la régularité en $r = 0$ impose $K = 0$ , d'où $G = - \frac{d ϕ}{d r} u_{r} = - \frac{4 π G μ}{3} r u_{r}$ : le champ est dirigé vers le centre et $G (r) = g_{0} \frac{r}{R}$ , avec $g_{0} = \frac{4 π G μ R}{3} = \frac{GM}{R ^{2}}$ . À l'extérieur, Laplace donne $r^{2} \frac{d ϕ}{d r} = cte$ ; la continuité en $R$ fixe la constante à $GM$ , et $G = \frac{GM}{r ^{2}}$ , le champ d'une masse ponctuelle.
$μ = \frac{3 g _{0}}{4 π GR} = \frac{3 \times 9 , 81}{4 π \times 6 , 674 \times 1 0 ^{- 11} \times 6 , 371 \times 1 0 ^{6}} \approx 5.5 \times 1 0^{3} kg / m^{3}$ , la masse volumique moyenne de la Terre (le double de celle des roches de surface : le noyau est plus dense, et le modèle homogène n'est qu'une première approche).