Le champ électrique induit et la règle du bétatron

La stratégie. Par symétrie, la forme intégrale de Maxwell-Faraday donne le champ induit en une ligne. La dynamique, projetée sur la base polaire, fournit deux équations : l'une fait intervenir le flux à travers l'orbite, l'autre le champ sur l'orbite ; leur compatibilité contraint le profil du champ.

1) Le champ induit. Sur le cercle de rayon $r$ orienté par ${\overrightarrow{u}}_{\theta }$, $$2\pi r{E}_{\theta }=-\frac{\partial \Phi }{\partial t}⟹E_{\theta }(r,t)=-\frac{1}{2\pi r}\frac{\partial \Phi (r,t)}{\partial t}<0$$ (loi de Lenz). Les lignes sont des cercles fermés, sans origine ni fin : ce champ n'a pas de sources ($\mathrm{div}\overrightarrow{E}=0$). Sa circulation sur un cercle n'est pas nulle : il ne dérive d'aucun potentiel.

2) Accélérer et guider. Avec ${\overrightarrow{u}}_{\theta }\wedge {\overrightarrow{u}}_z={\overrightarrow{u}}_r$, la force vaut $\overrightarrow{F}=-e{E}_{\theta }{\overrightarrow{u}}_{\theta }-evB{\overrightarrow{u}}_r$, et pour un mouvement circulaire de rayon $r_0$, $\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{p}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}{\overrightarrow{u}}_{\theta }-\frac{pv}{r_0}{\overrightarrow{u}}_r$. Selon ${\overrightarrow{u}}_{\theta }$ : $$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}=-e{E}_{\theta }=\frac{e}{2\pi r_0}\frac{\partial \Phi (r_0,t)}{\partial t}>0:$$ le champ électrique accélère l'électron dans le sens de ${\overrightarrow{u}}_{\theta }$. Selon ${\overrightarrow{u}}_r$ : $\frac{pv}{r_0}=evB(r_0,t)$, la force magnétique est centripète pour ce même sens, et $p=e{r}_{0}B(r_0,t)$. Le sens de parcours est imposé (trigonométrique vu depuis $+{\overrightarrow{u}}_z$) ; la force magnétique ne travaille pas : elle courbe, le champ induit fournit toute l'énergie.

3) La règle « deux pour un ». En dérivant $p=e{r}_{0}B(r_0,t)$ et en comparant : $\frac{\partial \Phi }{\partial t}=2\pi r_0^2\frac{\partial B(r_0,t)}{\partial t}$. Les deux membres étant nuls à $t=0$, $\Phi (r_0,t)=2\pi r_0^{2}B(r_0,t)$, soit $$⟨B⟩=2B(r_0,t):$$ c'est la règle de Wideröe (1928). Un champ uniforme ($⟨B⟩=B(r_0)$) ne donnerait que la moitié de la quantité de mouvement qu'exige l'orbite : le rayon de courbure $p/(eB)$ serait trop petit, l'électron spiralerait vers l'axe. Il faut un champ plus intense au centre : des pièces polaires plus rapprochées près de l'axe.

4) Un profil qui convient. Avec $X=r^2/a^2$, $$\Phi (r,t)={\int }_0^r\frac{B_{c}2\pi r^{\prime }\mathrm{d}{r}^{\prime }}{1+r^{\prime 2}/a^2}=\pi a^2{B}_c\ln \left(1+\frac{r^2}{a^2}\right),$$ et la règle s'écrit $(1+X_0)\ln (1+X_0)=2X_0$. Pour $r_0=19\mathrm{cm}$, $X_0\approx 3,92$ : $4,92\times \ln 4,92\approx 7,83$ contre $2X_0\approx 7,84$. La règle est satisfaite, avec $B(r_0)=B_c/4,92$.

5) Les valeurs. $B(r_0)=\frac{p}{e{r}_0}=\frac{\mathcal{E}}{ec{r}_0}=\frac{20\times 10^6\mathrm{V}}{2,998\times 10^8\times 0,19}\approx 0,35\mathrm{T}$, donc $B_c\approx 1,7\mathrm{T}$ (accessible au fer) et $\Phi (r_0)=2\pi r_0^{2}B(r_0)\approx 0,080\mathrm{Wb}$. En $\Delta t=T/4=5,0\mathrm{ms}$, la force électromotrice moyenne par tour vaut $\Phi /\Delta t\approx 16\mathrm{V}$ ($E_{\theta }\approx 13\mathrm{V}{\mathrm{m}}^{-1}$ seulement sur l'orbite) : il faut $\frac{20\times 10^6}{15,9}\approx 1,3\times 10^6$ tours, soit $1,3\times 10^6\times 2\pi r_0\approx 1500\mathrm{km}$. Contrôle : les électrons vont presque tout le temps à une vitesse très proche de $c$ ($v=0,9997c$ à $20\mathrm{MeV}$), et $c\Delta t\approx 1500\mathrm{km}$. (L'expression $\frac{1}{2}m{v}^2$ donnerait ici $v>c$ : d'où l'hypothèse relativiste.) Un champ électrostatique, de circulation nulle sur toute courbe fermée, ne fournirait rien par tour : seul un champ induit peut accélérer indéfiniment sur une orbite fermée.

Ce que l'exercice installe. Maxwell-Faraday intégrale est la loi de Faraday : la circulation du champ induit vaut l'opposé de la dérivée du flux enlacé ; ses lignes sont fermées et il ne dérive d'aucun potentiel. Projeter la loi de la quantité de mouvement sépare le rôle du champ électrique (il accélère) de celui du champ magnétique (il guide).