Le condensateur en charge : courant de déplacement, champ magnétique, énergie qui entre par le bord

La stratégie. La forme intégrale de Maxwell-Ampère vaut pour toute surface qui s'appuie sur le contour : l'écrire sur deux surfaces est le test qui impose le courant de déplacement. La symétrie de révolution réduit ensuite Ampère généralisé à une ligne, et le bilan de Poynting se fait sur le cylindre qui contient le champ.

1) Le paradoxe et sa résolution. Avec ${\oint }_{\mathcal{C}}\overrightarrow{B}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\ell }={\mu }_0{I}_{\text{enlaceˊ}}$, $S_1$ donne $i$ et $S_2$, qu'aucun conducteur ne traverse, donne $0$ : contradiction dès que $i\ne 0$. Avec le terme de Maxwell, $S_2$ est traversée par le courant de déplacement, sur l'aire $\pi R^2$ : $$I_d={\epsilon }_0\pi R^2\frac{1}{d}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=C\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}=i,C=\frac{{\epsilon }_0\pi R^2}{d}:$$ le courant de déplacement prolonge le courant de conduction. La divergence de Maxwell-Ampère, avec $\mathrm{div}(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{B})=0$ et Maxwell-Gauss, donne $$0={\mu }_0\mathrm{div}\overrightarrow{j}+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial }{\partial t}\left(\mathrm{div}\overrightarrow{E}\right)={\mu }_0\left(\mathrm{div}\overrightarrow{j}+\frac{\partial \rho }{\partial t}\right):$$ la conservation de la charge est une conséquence des équations de Maxwell ; sans le terme de Maxwell, on aurait $\mathrm{div}\overrightarrow{j}=0$ et l'armature ne pourrait pas se charger. Vérification : $S_1$ et $S_2$ forment une surface fermée qui contient l'armature ; il y entre $i$ par $S_1$, il n'en sort aucun courant de conduction, et la conservation intégrale donne $\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}=i$.

2) Le champ magnétique. Sur un cercle de rayon $r$ du plan médian, $2\pi rB$ vaut ${\mu }_0$ fois le courant de déplacement enlacé, $i\frac{r^2}{R^2}$ si $r<R$, $i$ si $r>R$ : $$B=\frac{{\mu }_{0}ir}{2\pi R^2}(r<R),B=\frac{{\mu }_{0}i}{2\pi r}(r>R).$$ Au-delà du bord, c'est exactement le champ d'un fil ; le profil complet est celui d'un fil épais parcouru par un courant uniforme (magnétostatique).

3) Valeurs. $C=\frac{8,854\times 10^{-12}\times \pi \times 0,10^2}{1,00\times 10^{-3}}\approx 278\mathrm{pF}$, $I_0=C\omega U_0\approx 0,175\mathrm{A}$, et $B_{\max }(R)=\frac{{\mu }_0{I}_0}{2\pi R}\approx 0,35\mu \mathrm{T}$ : $0,74\%$ du champ terrestre, à $1\mathrm{MHz}$. D'où la difficulté, longtemps, de mettre directement en évidence le champ du courant de déplacement.

4) L'énergie entre par le bord. En $r=R$, $\overrightarrow{E}=\frac{u}{d}{\overrightarrow{u}}_z$ et $\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0{\epsilon }_{0}R}{2d}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}{\overrightarrow{u}}_{\theta }$ ; avec ${\overrightarrow{u}}_z\wedge {\overrightarrow{u}}_{\theta }=-{\overrightarrow{u}}_r$, $\overrightarrow{\Pi }=-\frac{{\epsilon }_{0}R}{2d^2}u\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}{\overrightarrow{u}}_r$. Le flux entrant à travers la surface latérale $2\pi Rd$ vaut $$P_{\text{entrant}}=\frac{{\epsilon }_{0}R}{2d^2}u\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\times 2\pi Rd=Cu\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}C{u}^2\right),$$ exactement la variation de l'énergie du condensateur. Quand $|u|$ croît, $\overrightarrow{\Pi }$ pointe vers l'axe : l'énergie entre par la tranche, à travers le vide qui entoure le bord, et non par les fils ; elle ressort par le même chemin quand $|u|$ décroît. Énergie maximale $\frac{1}{2}C{U}_0^2\approx 1,4\mu \mathrm{J}$ ; puissance échangée d'amplitude $\frac{1}{2}C{U}_0^2\omega \approx 8,7\mathrm{W}$, de moyenne nulle.

5) Ce que le modèle néglige. a) Entre les armatures, $B=\frac{r}{2c^2}\frac{\partial E}{\partial t}$, d'amplitude $\frac{\omega E_{0}r}{2c^2}$ avec $E_0=U_0/d$. En intégrant les densités d'énergie sur le cylindre de rayon $R$ et de hauteur $d$ : $$W_m={\int }_0^R\frac{1}{2{\mu }_0}{\left(\frac{\omega E_{0}r}{2c^2}\right)}^{2}2\pi rd\mathrm{d}r=\frac{\pi d{\omega }^2{E}_0^2{R}^4}{16{\mu }_0{c}^4},W_e=\frac{{\epsilon }_0{E}_0^2}{2}\pi R^{2}d,$$ d'où $$\frac{W_m}{W_e}=\frac{{\omega }^2{R}^2}{8{\mu }_0{\epsilon }_0{c}^4}=\frac{1}{8}{\left(\frac{\omega R}{c}\right)}^2.$$ Ici $\frac{\omega R}{c}\approx 2,1\times 10^{-3}$ et $\frac{W_m}{W_e}\approx 5,5\times 10^{-7}$ : le champ magnétique induit est une petite correction, et le champ électrique qu'il induit à son tour corrige l'uniformité de $\overrightarrow{E}$ d'une quantité relative du même ordre. Le modèle est cohérent tant que $\omega R\ll c$. b) Dans le cuivre, $\frac{j_d}{j}=\frac{{\epsilon }_0\omega }{\gamma }$ : $4,7\times 10^{-17}$ à $50\mathrm{Hz}$, $9,3\times 10^{-10}$ à $1\mathrm{GHz}$ ; il faudrait $\omega \approx \gamma /{\epsilon }_0\approx 6,7\times 10^{18}\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$ pour les égaler. Le courant de déplacement est tout entre les armatures, et rien dans un métal. Cas limite : $\omega \to 0$, $\overrightarrow{B}$ et le flux d'énergie s'annulent, on retrouve le condensateur de l'électrostatique.

Ce que l'exercice installe. Maxwell-Ampère sur deux surfaces bordées par le même contour : sans ${\epsilon }_0\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}$, Ampère se contredit et la charge ne se conserve pas. Le courant de déplacement crée un champ magnétique comme un courant réel ; le bilan de Poynting montre que l'énergie du condensateur entre par la tranche. Et un réflexe : chiffrer ce qu'on néglige, $(\omega R/c{)}^2$ et ${\epsilon }_0\omega /\gamma$.