Résolution numérique de l'équation de Laplace

Équations de Maxwell · niveau 2

Énoncé

Un tube de section carrée, de côté $L$ , très long, est formé de quatre plaques conductrices isolées entre elles : la plaque supérieure est au potentiel $U = 100 V$ , les trois autres à $0$ . L'intérieur est vide de charges, et $V (x, y)$ vérifie l'équation de Laplace à deux dimensions. On discrétise le carré par une grille de pas $h = L / (N - 1)$ et l'on note $V_{i, j}$ le potentiel au nœud de ligne $i$ et de colonne $j$ .

Par des développements de Taylor, montrer qu'au premier ordre non nul, $V_{i, j} = \frac{1}{4} (V_{i + 1, j} + V_{i - 1, j} + V_{i, j + 1} + V_{i, j - 1})$ .
Écrire un programme Python qui résout le problème par relaxation.
Montrer, par superposition, que le potentiel au centre vaut exactement $U /4$ , et s'en servir pour tester le programme.

Corrigé

En sommant les développements $V (x \pm h, y) = V \pm h \frac{\partial V}{\partial x} + \frac{h ^{2}}{2} \frac{\partial ^{2} V}{\partial x ^{2}} \pm \dots$ ,

$\frac{\partial ^{2} V}{\partial x ^{2}} \approx \frac{V _{i, j + 1} + V _{i, j - 1} - 2 V _{i, j}}{h ^{2}},$

et de même selon $y$ . L'équation de Laplace discrétisée, $V_{i + 1, j} + V_{i - 1, j} + V_{i, j + 1} + V_{i, j - 1} - 4 V_{i, j} = 0$ , dit que le potentiel en un nœud est la moyenne de ses quatre voisins.

On part d'un potentiel nul à l'intérieur, on impose les valeurs aux bords, et l'on remplace à chaque itération chaque valeur intérieure par la moyenne de ses voisins (méthode de Jacobi), jusqu'à ce que la plus grande variation passe sous un seuil :


import numpy as np

N = 41                     # points par côté
U = 100.0                  # potentiel de la plaque supérieure (V)
V = np.zeros((N, N))       # V[i, j] : ligne i (y), colonne j (x)
V[-1, :] = U               # plaque supérieure à U

ecart, n = 1.0, 0
while ecart > 1e-6:        # relaxation (méthode de Jacobi)
    nouveau = V.copy()
    nouveau[1:-1, 1:-1] = (V[2:, 1:-1] + V[:-2, 1:-1]
                           + V[1:-1, 2:] + V[1:-1, :-2]) / 4
    ecart = np.max(np.abs(nouveau - V))
    V, n = nouveau, n + 1

print(n, V[N // 2, N // 2])   # itérations, V au centre

Faisons tourner la figure d'un quart de tour, trois fois : on obtient trois autres problèmes, où c'est successivement chacune des autres plaques qui est à $U$ . La somme des quatre solutions vérifie Laplace et vaut $U$ sur tout le bord : c'est $V = U$ partout. Au centre, les quatre solutions sont égales par symétrie : chacune vaut $U /4 = 25 V$ (l'argument vaut aussi pour la grille discrète). Le programme donne $25.00 V$ en $3802$ itérations ; avec un seuil de $1 0^{- 4}$ , il s'arrête à $24.97 V$ : une petite variation d'une itération à l'autre ne garantit pas que l'on soit proche de la solution, la relaxation de Jacobi étant lente.