Sans courant de déplacement, pas de lumière : l'équation de propagation

La stratégie. On élimine l'un des champs en prenant le rotationnel d'une équation et en y reportant l'autre ; l'identité du double rotationnel fait apparaître le laplacien, et l'absence de charge fait disparaître le gradient.

1) Les équations de d'Alembert. Le rotationnel de Maxwell-Faraday, les dérivées d'espace et de temps commutant, donne $$\overrightarrow{\mathrm{rot}}(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{E})=-\frac{\partial }{\partial t}\left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{B}\right)=-{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{{\partial }^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2}.$$ Or $\overrightarrow{\mathrm{rot}}(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{E})=\overrightarrow{\mathrm{grad}}(\mathrm{div}\overrightarrow{E})-\Delta \overrightarrow{E}=-\Delta \overrightarrow{E}$, puisque $\mathrm{div}\overrightarrow{E}=0$. D'où $$\Delta \overrightarrow{E}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2}=\overrightarrow{0},c=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}}.$$ Le rotationnel de Maxwell-Ampère donne de même, avec $\mathrm{div}\overrightarrow{B}=0$, $-\Delta \overrightarrow{B}={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial }{\partial t}\left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{E}\right)=-{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{{\partial }^2\overrightarrow{B}}{\partial t^2}$ : $\Delta \overrightarrow{B}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\overrightarrow{B}}{\partial t^2}=\overrightarrow{0}$. Chaque composante cartésienne des deux champs vérifie l'équation de d'Alembert : les champs se propagent à la vitesse $c$.

2) Sans le terme de Maxwell. Avec $\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{B}=\overrightarrow{0}$ dans le vide, le même calcul donne $\Delta \overrightarrow{E}=\overrightarrow{0}$, et de même $\Delta \overrightarrow{B}=\overrightarrow{0}$ : des équations de Laplace, sans dérivée temporelle. À chaque instant, le champ serait fixé par les sources et les conditions aux limites au même instant : toute modification des sources serait ressentie partout sans retard, et il n'y aurait pas d'onde. Dans la chaîne de couplage du cours, c'est le maillon « une variation de $\overrightarrow{E}$ crée $\overrightarrow{B}$ » qui manquerait : sans courant de déplacement, pas de lumière.

3) La valeur de $c$, et l'argument de Maxwell. $c=\frac{1}{\sqrt{4\pi \times 10^{-7}\times 8,854\times 10^{-12}}}\approx 2,998\times 10^8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ ; avec $8,85\times 10^{-12}$, $2,999\times 10^8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ : l'arrondi ne touche que le quatrième chiffre. L'écart entre les mesures historiques vaut $\frac{314858-310740}{314858}\approx 1,3\%$, de l'ordre des incertitudes de l'époque (toutes deux dépassent de quelques pour cent la valeur moderne, $299792,458\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}$). Une constante tirée de mesures purement électriques, sur un condensateur, sans lumière, coïncide avec la vitesse de la lumière : Maxwell en conclut en 1865 que la lumière est une perturbation électromagnétique qui se propage selon ses équations.

4) Une impulsion qui satisfait les quatre équations. Avec $s=t-x/c$ : $\frac{\partial f(s)}{\partial t}=f^{\prime }(s)$, $\frac{\partial f(s)}{\partial x}=-\frac{f^{\prime }(s)}{c}$, et rien ne dépend de $y$ ni de $z$. Donc $\mathrm{div}\overrightarrow{E}=\frac{\partial E_y}{\partial y}=0$ et $\mathrm{div}\overrightarrow{B}=\frac{\partial B_z}{\partial z}=0$ ; $\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{E}=\frac{\partial E_y}{\partial x}{\overrightarrow{u}}_z=-\frac{f^{\prime }}{c}{\overrightarrow{u}}_z=-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}$ ; $\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{B}=-\frac{\partial B_z}{\partial x}{\overrightarrow{u}}_y=\frac{f^{\prime }}{c^2}{\overrightarrow{u}}_y={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}$. Les quatre équations sont vérifiées. Avec ${\overrightarrow{B}}^{\prime }$, chaque composante est encore de la forme $g(t-x/c)$, qui vérifie d'Alembert ($\frac{{\partial }^{2}g}{\partial x^2}=\frac{g^{\prime \prime }}{c^2}$, $\frac{{\partial }^{2}g}{\partial t^2}=g^{\prime \prime }$), mais $-\frac{\partial {\overrightarrow{B}}^{\prime }}{\partial t}=+\frac{f^{\prime }}{c}{\overrightarrow{u}}_z\ne \overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{E}$ : Maxwell-Faraday est violée. L'équation de d'Alembert est nécessaire, pas suffisante : les équations de Maxwell, du premier ordre, lient en plus $\overrightarrow{E}$ et $\overrightarrow{B}$. Pour l'impulsion qui avance selon $+{\overrightarrow{u}}_x$, $\overrightarrow{E}$ et $\overrightarrow{B}$ sont perpendiculaires entre eux et à la direction de propagation, en phase, avec $B=E/c$ ; $\overrightarrow{\Pi }=\frac{f^2}{{\mu }_{0}c}{\overrightarrow{u}}_x$ : l'énergie avance avec l'impulsion. C'est le couplage qui la porte : la variation temporelle de l'un des champs entretient la variation spatiale de l'autre. La structure générale de ces ondes est l'objet de l'étude des ondes planes.

5) Les retards. Terre-Lune : $\frac{3,844\times 10^8}{2,998\times 10^8}\approx 1,28\mathrm{s}$. Circuit de $1\mathrm{m}$ : $3,3\mathrm{ns}$, contre une période de $20\mathrm{ms}$, soit un rapport de $1,7\times 10^{-7}$ : à l'échelle d'un laboratoire, le champ suit ses sources sans retard perceptible, et les lois des régimes stationnaires rendent très bien compte des circuits. Cas limite : la propagation devient sensible quand la taille du dispositif approche $cT$, $6000\mathrm{km}$ à $50\mathrm{Hz}$, $30\mathrm{cm}$ à $1\mathrm{GHz}$.

Ce que l'exercice installe. L'équation de d'Alembert s'établit par le rotationnel du rotationnel ; elle n'existe que par le courant de déplacement, sans lequel le champ suivrait ses sources instantanément (Laplace). La valeur de $c$, tirée de constantes électriques et magnétiques, a fondé l'électromagnétisme de la lumière. Et une prudence : une solution de d'Alembert n'est un champ électromagnétique que si elle satisfait les quatre équations.