Du Soleil au panneau solaire : flux du vecteur de Poynting et champs d'une onde localement plane

La stratégie. La puissance qui traverse une surface orientée est le flux du vecteur de Poynting ; dans le vide sans absorption, en régime permanent, ce qui entre dans un volume en ressort. La structure de l'onde localement plane relie ensuite l'intensité aux champs.

1) Conservation du flux et loi en $1/r^2$. Entre deux sphères de rayons $r_1$ et $r_2$, le volume ne contient ni charge ni courant ; en moyenne temporelle, l'énergie qu'il contient ne varie pas (régime permanent). Le bilan d'énergie, $\frac{\mathrm{d}⟨U⟩}{\mathrm{d}t}=-\oint ⟨\overrightarrow{\Pi }⟩\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}=0$, impose que le flux sortant à travers la sphère de rayon $r_2$ égale le flux entrant à travers la sphère de rayon $r_1$ : ce flux vaut donc $\mathcal{L}$ pour toute sphère. Par symétrie (rayonnement isotrope), $⟨\overrightarrow{\Pi }⟩=I(r){\overrightarrow{e}}_r$, d'où $$\mathcal{L}=4\pi r^{2}I(r),I(r)=\frac{\mathcal{L}}{4\pi r^2},E_0(r)=\sqrt{\frac{2I}{{\epsilon }_{0}c}}\propto \frac{1}{r}.$$ L'intensité décroît en $1/r^2$ et l'amplitude en $1/r$ : c'est la signature d'une onde sphérique. Au sommet de l'atmosphère : $$I=\frac{3,83\times 10^{26}}{4\pi \times (1,50\times 10^{11}{)}^2}\approx 1,36\times 10^3\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}.$$ C'est la « constante solaire », mesurée par satellite à $1361\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$. Si loin du Soleil, l'onde est localement plane (exercice 4).

2) Les champs. $I=\frac{1}{2}{\epsilon }_{0}c{E}_0^2$ donne $$E_0=\sqrt{\frac{2I}{{\epsilon }_{0}c}}=\sqrt{\frac{2\times 1361}{8,854\times 10^{-12}\times 2,998\times 10^8}}\approx 1,01\times 10^3\mathrm{V}{\mathrm{m}}^{-1},$$ $$B_0=\frac{E_0}{c}\approx 3,4\mu \mathrm{T}.$$ Le champ terrestre, $47\mu \mathrm{T}$, est 14 fois plus grand ; et le champ de la lumière oscille à $10^{15}\mathrm{Hz}$, invisible à une boussole. Densité d'énergie : $\overrightarrow{\Pi }=uc\overrightarrow{u}$ en moyenne, donc $⟨u⟩=\frac{I}{c}=\frac{1361}{2,998\times 10^8}\approx 4,5\times 10^{-6}\mathrm{J}{\mathrm{m}}^{-3}$ : quelques microjoules par mètre cube, mais renouvelés à la vitesse de la lumière.

3) Un disque, pas une demi-sphère. La Terre est à $1,5\times 10^{11}\mathrm{m}$ du Soleil, très loin devant son rayon : elle baigne dans un champ $⟨\overrightarrow{\Pi }⟩$ uniforme, de direction fixe $\overrightarrow{u}$. Chaque élément $\mathrm{d}S$ de l'hémisphère éclairé ne reçoit que $I\cos \alpha \mathrm{d}S$, où $\alpha$ est l'angle entre sa normale et les rayons, et $\cos \alpha \mathrm{d}S$ est sa projection sur le disque perpendiculaire aux rayons qui a le même bord (le cercle séparant le jour et la nuit). Donc $$P_T=\pi R_T^{2}I=\pi \times (6,37\times 10^6{)}^2\times 1361\approx 1,74\times 10^{17}\mathrm{W}.$$ Compter la demi-sphère, $2\pi R_T^2$, donnerait le double : le flux se calcule avec $\overrightarrow{\Pi }\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}$, pas avec $\Vert \overrightarrow{\Pi }\Vert \mathrm{d}S$.

4) Le panneau, surface orientée. Orientons le panneau par sa normale $\overrightarrow{n}$ dirigée vers le ciel. Le vecteur de Poynting moyen est dirigé du Soleil vers le sol : $⟨\overrightarrow{\Pi }⟩=-I{\overrightarrow{u}}_S$, où ${\overrightarrow{u}}_S$ pointe vers le Soleil, à $60^{\circ }$ au-dessus de l'horizon, donc à $30^{\circ }$ de la verticale. La puissance reçue par le panneau est le flux de $⟨\overrightarrow{\Pi }⟩$ à travers la surface orientée vers le bas, ou l'opposé du flux à travers la surface orientée par $\overrightarrow{n}$ : $$P=-\iint ⟨\overrightarrow{\Pi }⟩\cdot \overrightarrow{n}\mathrm{d}S=IS\cos 30^{\circ }=1,0\times 10^3\times 1,7\times 0,866\approx 1,47\mathrm{kW},$$ soit $0,20\times 1,47\approx 0,29\mathrm{kW}$ électriques. L'optimum est atteint quand $\overrightarrow{n}$ est parallèle aux rayons : panneau incliné de $30^{\circ }$ sur l'horizontale, face au Soleil. Alors $P=IS=1,7\mathrm{kW}$ et $0,34\mathrm{kW}$ électriques, $15\%$ de plus. Cas limite : Soleil à l'horizon, $\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{\Pi }$, flux nul.

5) Ce qui compte, c'est l'intensité. a) $I=\frac{10^5}{4\pi \times (5\times 10^4{)}^2}\approx 3,2\times 10^{-6}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$, $E_0=\sqrt{\frac{2I}{{\epsilon }_{0}c}}\approx 4,9\times 10^{-2}\mathrm{V}{\mathrm{m}}^{-1}$ : $49\mathrm{mV}{\mathrm{m}}^{-1}$, que l'antenne d'un récepteur détecte sans peine. b) $I=\frac{5\times 10^{-3}}{\pi \times (0,5\times 10^{-3}{)}^2}\approx 6,4\times 10^3\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$, $E_0\approx 2,2\times 10^3\mathrm{V}{\mathrm{m}}^{-1}$, $B_0\approx 7,3\mu \mathrm{T}$. Un laser de cinq milliwatts a un champ deux fois plus intense que le Soleil au sommet de l'atmosphère : sa puissance est infime, mais concentrée sur un millimètre carré. C'est l'intensité, puissance par unité de surface, qui fixe les champs, et le danger pour l'œil.

6) Les intensités s'ajoutent. Écrivons, en un point, $E=E_a\cos ({\omega }_{a}t+{\varphi }_a)+E_b\cos ({\omega }_{b}t+{\varphi }_b)$ avec ${\omega }_a\ne {\omega }_b$. Alors $$\begin{array}{rl}{E}^2=& E_a^2{\cos }^2({\omega }_{a}t+{\varphi }_a)+E_b^2{\cos }^2({\omega }_{b}t+{\varphi }_b)\\ & +E_a{E}_b[\cos \left(({\omega }_a+{\omega }_b)t+{\varphi }_a+{\varphi }_b\right)+\cos \left(({\omega }_a-{\omega }_b)t+{\varphi }_a-{\varphi }_b\right)].\end{array}$$ Sur une durée grande devant $2\pi /|{\omega }_a-{\omega }_b|$, le terme croisé est de moyenne nulle : $⟨E^2⟩=\frac{E_a^2}{2}+\frac{E_b^2}{2}$, et $I=I_a+I_b$. Le $E_0$ de la question 2 est l'amplitude de l'OPPM équivalente, de même intensité ; la grandeur physique est la valeur efficace $\sqrt{⟨E^2⟩}=\sqrt{I/({\epsilon }_{0}c)}\approx 716\mathrm{V}{\mathrm{m}}^{-1}$.

Ce que l'exercice installe. La puissance à travers une surface est le flux du vecteur de Poynting, avec son orientation : $P=\iint ⟨\overrightarrow{\Pi }⟩\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}$, d'où le facteur $\cos \alpha$ du panneau et le disque $\pi R_T^2$ de la Terre. La conservation du flux à travers des sphères donne $I\propto 1/r^2$ et une amplitude en $1/r$. Et c'est l'intensité, non la puissance, qui fixe les champs ; les intensités de fréquences différentes s'ajoutent.