Les courants de surface fabriquent l'onde réfléchie

La stratégie. Symétries pour relier les deux ondes, relation de passage pour les relier au courant ; puis on additionne le champ de la nappe à l'onde incidente. Le calcul ne suppose aucun métal : c'est ce qui le rend probant.

1) Symétrie. La nappe est invariante par toute translation selon ${\overrightarrow{e}}_y$ et ${\overrightarrow{e}}_z$ : les champs ne dépendent que de $x$ et de $t$ (on l'a supposé). Le plan $x=0$ contient les courants, qui lui sont parallèles : c'est un plan de symétrie de la distribution. Le champ électrique, vecteur polaire, est symétrique : en deux points symétriques, ses composantes parallèles au plan sont égales, d'où $E_y(-x,t)=E_y(x,t)$. Pour $x>0$, cela s'écrit $F_{-}(t-x/c)=F_{+}(t-x/c)$ pour tout $t$ : $F_{-}=F_{+}=F$. Chaque onde étant progressive, $\overrightarrow{B}=\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{E}/c$ : pour $x>0$, $$\overrightarrow{B}=\frac{{\overrightarrow{e}}_x\wedge F{\overrightarrow{e}}_y}{c}=\frac{1}{c}F\left(t-\frac{x}{c}\right){\overrightarrow{e}}_z;$$ pour $x<0$, $$\overrightarrow{B}=\frac{-{\overrightarrow{e}}_x\wedge F{\overrightarrow{e}}_y}{c}=-\frac{1}{c}F\left(t+\frac{x}{c}\right){\overrightarrow{e}}_z.$$ $B_z$ est impair en $x$ : c'est ce qu'exige un pseudo-vecteur pour un plan de symétrie.

2) Le saut de $\overrightarrow{B}$. Milieu 1 : $x<0$ ; milieu 2 : $x>0$ ; ${\overrightarrow{n}}_{1\to 2}={\overrightarrow{e}}_x$. La composante tangentielle de $\overrightarrow{E}$ est continue, $F(t)=F(t)$ : rien à imposer. Pour $\overrightarrow{B}$ : $$\overrightarrow{B}(0^{+})-\overrightarrow{B}(0^{-})=\frac{2F(t)}{c}{\overrightarrow{e}}_z={\mu }_0{j}_s{\overrightarrow{e}}_y\wedge {\overrightarrow{e}}_x=-{\mu }_0{j}_s(t){\overrightarrow{e}}_z,$$ d'où $$F(t)=-\frac{{\mu }_{0}c}{2}{j}_s(t).$$ Le champ électrique rayonné est, au contact, opposé au courant qui le produit.

3) La nappe annule l'incidente d'un côté et la réfléchit de l'autre. Avec le courant du cours, $F(t)=-E_0\cos (\omega t)$.

• Pour $x<0$ : ${\overrightarrow{E}}_{\text{nappe}}=-E_0\cos (\omega t+kx){\overrightarrow{e}}_y=-{\overrightarrow{E}}_i$ et ${\overrightarrow{B}}_{\text{nappe}}=\frac{E_0}{c}\cos (\omega t+kx){\overrightarrow{e}}_z=-{\overrightarrow{B}}_i$ (car ${\overrightarrow{B}}_i=-\frac{E_0}{c}\cos (\omega t+kx){\overrightarrow{e}}_z$). Le champ total est nul.
• Pour $x>0$ : ${\overrightarrow{E}}_{\text{nappe}}=-E_0\cos (\omega t-kx){\overrightarrow{e}}_y$ et ${\overrightarrow{B}}_{\text{nappe}}=-\frac{E_0}{c}\cos (\omega t-kx){\overrightarrow{e}}_z$ : c'est exactement l'onde réfléchie du cours. Le champ total est l'onde stationnaire $-2E_0\sin (kx)\sin (\omega t){\overrightarrow{e}}_y$.

Conclusion. Le champ nul dans le métal et l'onde réfléchie sont un seul phénomène. Les électrons de surface se mettent en mouvement jusqu'à ce que le champ de leur nappe annule l'onde incidente à l'intérieur ; or, par symétrie, une nappe ne peut pas rayonner d'un seul côté : elle émet nécessairement la même onde vers $x>0$, et cette onde est l'onde réfléchie. On a là une seconde démonstration de $r=-1$, qui part de la nullité du champ dans le métal (admise) au lieu de la condition aux limites. La réflexion n'est pas un rebond passif : c'est une émission de la nappe de courant.

4) Pas de charge. Le champ électrique est selon ${\overrightarrow{e}}_y$, tangent au plan, de part et d'autre : sa composante normale $E_x$ est nulle des deux côtés, et la relation de passage donne $\sigma =0$. Sous incidence normale, le champ d'une onde plane est toujours tangent au plan : jamais de charge surfacique. C'est cohérent avec la conservation de la charge : un courant uniforme dans le plan n'accumule de charge nulle part.

5) Ordres de grandeur. $j_s=\frac{2\times 100}{4\pi \times 10^{-7}\times 3,00\times 10^8}\approx 0,53\mathrm{A}{\mathrm{m}}^{-1}$ ; au contact, $B={\mu }_0{j}_s=2E_0/c\approx 6,7\times 10^{-7}\mathrm{T}=0,67\mu \mathrm{T}$, soit un peu plus du centième du champ terrestre.

Ce que l'exercice installe. Symétries puis relation de passage donnent le champ d'une nappe de courant : deux ondes sortantes, $\overrightarrow{E}=-\frac{{\mu }_{0}c}{2}{j}_s(t-|x|/c){\overrightarrow{e}}_y$. Superposé à l'onde incidente, il l'annule dans le métal et est l'onde réfléchie au dehors : interpréter les courants de surface, c'est voir la réflexion comme une émission. Sous incidence normale, $\sigma =0$.