Problème : cavité résonante à une dimension, quantification des modes et facteur de qualité $Q=L/2\delta$

La stratégie. Les modes se trouvent avec des parois parfaites. Puis on traite les parois réelles en perturbation : $\delta$ étant minuscule devant $L$, le champ dans la cavité est celui du conducteur parfait, et la seule chose nouvelle est l'effet Joule du courant pariétal dans la peau. Le rapport de l'énergie stockée à l'énergie perdue par période donne $Q$.

1) La condition de quantification. En $x=0$, $E_y(0,t)=0$ pour tout $t$ : $A\cos (\omega t+\alpha )+A^{\prime }\cos (\omega t+{\alpha }^{\prime })=0$, ce qui impose $A^{\prime }\cos (\omega t+{\alpha }^{\prime })=-A\cos (\omega t+\alpha )$ pour tout $t$. Alors $$E_y=A\left[\cos (\omega t-kx+\alpha )-\cos (\omega t+kx+\alpha )\right]=2A\sin (kx)\sin (\omega t+\alpha ):$$ les deux ondes progressives se combinent en une onde stationnaire, nulle en $x=0$. En $x=L$, $2A\sin (kL)\sin (\omega t+\alpha )=0$ pour tout $t$ ; pour un champ non nul, $\sin (kL)=0$ : $$k_{n}L=n\pi ,k_n=\frac{n\pi }{L},f_n=\frac{nc}{2L},n=1,2,3,\dots$$ ($n=0$ donne un champ nul). Numériquement $f_1=\frac{3,00\times 10^8}{2\times 0,150}=1,00\mathrm{GHz}$, $f_2=2,00\mathrm{GHz}$, $f_3=3,00\mathrm{GHz}$. La cavité contient $n$ demi-longueurs d'onde : $L=n{\lambda }_n/2$. Le champ magnétique. Le champ du mode n'est pas une onde progressive : la relation $\overrightarrow{B}=\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{E}/c$, qui suppose une seule direction de propagation $\overrightarrow{u}$, ne s'applique pas. On revient à Maxwell-Faraday, $\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{E}=-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}$. Pour $\overrightarrow{E}=E_y(x,t){\overrightarrow{e}}_y$, $\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{E}=\frac{\partial E_y}{\partial x}{\overrightarrow{e}}_z$, donc $$\frac{\partial B_z}{\partial t}=-\frac{\partial E_y}{\partial x}=-E_n{k}_n\cos (k_{n}x)\sin ({\omega }_{n}t)⟹{\overrightarrow{B}}_n=\frac{E_n}{c}\cos (k_{n}x)\cos ({\omega }_{n}t){\overrightarrow{e}}_z,$$ en ne retenant pas de champ statique et avec $k_n/{\omega }_n=1/c$. Nœuds de $\overrightarrow{B}$ aux ventres de $\overrightarrow{E}$, ventre de $\overrightarrow{B}$ sur chaque paroi, quadrature dans le temps.

2) L'énergie stockée. Avec ${\int }_0^L{\sin }^2(k_{n}x)\mathrm{d}x={\int }_0^L{\cos }^2(k_{n}x)\mathrm{d}x=\frac{L}{2}$ (nombre entier de demi-périodes) : $$W={\int }_0^L\left(\frac{{\epsilon }_0{E}_y^2}{2}+\frac{B_z^2}{2{\mu }_0}\right)\mathrm{d}x=\frac{{\epsilon }_0{E}_n^2}{2}\frac{L}{2}{\sin }^2({\omega }_{n}t)+\frac{E_n^2}{2{\mu }_0{c}^2}\frac{L}{2}{\cos }^2({\omega }_{n}t)=\frac{{\epsilon }_0{E}_n^{2}L}{4},$$ puisque $1/({\mu }_0{c}^2)={\epsilon }_0$. $W$ ne dépend pas du temps : l'énergie passe de la forme électrique ($t=T/4$) à la forme magnétique ($t=0$) sans sortir de la cavité. C'est le résultat de l'exercice 3, étendu à toute la cavité.

3) Les courants pariétaux. Paroi $x=0$ : le conducteur est du côté $x<0$, $\overrightarrow{n}={\overrightarrow{e}}_x$, et $\overrightarrow{B}(0,t)={\mu }_0{\overrightarrow{ȷ}}_s\wedge {\overrightarrow{e}}_x$. Avec ${\overrightarrow{ȷ}}_s=j_s{\overrightarrow{e}}_y$ : $-{\mu }_0{j}_s{\overrightarrow{e}}_z=\frac{E_n}{c}\cos ({\omega }_{n}t){\overrightarrow{e}}_z$, donc $${\overrightarrow{ȷ}}_s(x=0)=-\frac{E_n}{{\mu }_{0}c}\cos ({\omega }_{n}t){\overrightarrow{e}}_y.$$ Paroi $x=L$ : le conducteur est du côté $x>L$, $\overrightarrow{n}=-{\overrightarrow{e}}_x$, et $\overrightarrow{B}(L,t)={\mu }_0{j}_s{\overrightarrow{e}}_y\wedge (-{\overrightarrow{e}}_x)={\mu }_0{j}_s{\overrightarrow{e}}_z$ ; avec $\cos (k_{n}L)=(-1{)}^n$ : $${\overrightarrow{ȷ}}_s(x=L)=(-1{)}^n\frac{E_n}{{\mu }_{0}c}\cos ({\omega }_{n}t){\overrightarrow{e}}_y.$$ Les deux parois portent des courants de même amplitude $j_{s0}=\frac{E_n}{{\mu }_{0}c}$, en phase avec $\overrightarrow{B}$ (en $\cos {\omega }_{n}t$) et en quadrature avec $\overrightarrow{E}$ (en $\sin {\omega }_{n}t$). Pour $n=2$, ils sont opposés à chaque instant. Aucune charge : $\overrightarrow{E}$ est tangent aux parois, $\sigma =0$. (Comme le veut le programme, on s'en tient à la densité $j_s$, sans calculer d'intensité.)

4) La peau d'une paroi réelle. À $f_1$, ${\omega }_1=6,28\times 10^9\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$ et $$\delta =\sqrt{\frac{2}{4\pi \times 10^{-7}\times 6,0\times 10^7\times 6,28\times 10^9}}\approx 2,05\mu \mathrm{m}.$$ $\delta /L\approx 1,4\times 10^{-5}$ et $\delta /{\lambda }_1\approx 7\times 10^{-6}$ : l'onde ne « voit » le métal que sur une pellicule infime (exercice 1), et le champ de la cavité est, à cette précision, celui du conducteur parfait. La puissance dissipée. Dans la couche, $j=j_s/\delta$, et la puissance Joule par unité de surface de paroi vaut $\delta \times \frac{j^2}{\gamma }=\frac{j_s^2}{\gamma \delta }$. Avec $j_s=j_{s0}\cos ({\omega }_{n}t)$ et $⟨{\cos }^2⟩=\frac{1}{2}$ : $${\mathcal{P}}_{\text{paroi}}=\frac{j_{s0}^2}{2\gamma \delta }.$$ Le métal se comporte comme une résistance par unité de surface $1/(\gamma \delta )$ traversée par le courant $j_s$ ; le profil exact, exponentiel amorti, donne exactement la même valeur (admis).

5) Le facteur de qualité. Les deux parois perdent $\mathcal{P}=2\times \frac{j_{s0}^2}{2\gamma \delta }=\frac{E_n^2}{{\mu }_0^2{c}^2\gamma \delta }$. Donc $$Q=\frac{{\omega }_{n}W}{\mathcal{P}}={\omega }_n\frac{{\epsilon }_0{E}_n^{2}L}{4}\frac{{\mu }_0^2{c}^2\gamma \delta }{E_n^2}=\frac{{\omega }_n{\mu }_0\gamma \delta L}{4}.$$ Or ${\delta }^2=\frac{2}{{\mu }_0\gamma {\omega }_n}$, soit ${\omega }_n{\mu }_0\gamma =\frac{2}{{\delta }^2}$ : $$\boxed{Q=\frac{L}{2\delta }}$$ Homogénéité : un rapport de longueurs, sans dimension. Numériquement : $$Q_1=\frac{0,150}{2\times 2,05\times 10^{-6}}\approx 3,65\times 10^4,\Delta f=\frac{f_1}{Q_1}\approx 27\mathrm{kHz},\frac{Q_1}{{\omega }_1}\approx 5,8\mu \mathrm{s}.$$ Une raie de $27\mathrm{kHz}$ de large à $1\mathrm{GHz}$ : la cavité est un filtre et un étalon de fréquence très sélectifs. Pendant les $5,8\mu \mathrm{s}$ d'amortissement, l'onde fait environ $5,8\times 10^{-6}/1,00\times 10^{-9}\approx 5800$ allers-retours. Comme $\delta \propto 1/\sqrt{f_n}\propto 1/\sqrt{n}$, $Q_n\propto \sqrt{n}$ : $Q_2\approx 5,2\times 10^4$, $Q_3\approx 6,3\times 10^4$.

Relecture par les réflexions. Le mode est la superposition de deux ondes progressives d'amplitude $E_n/2$ ; chacune apporte sur une paroi l'intensité $I=\frac{(E_n/2{)}^2}{2{\mu }_{0}c}=\frac{E_n^2}{8{\mu }_{0}c}$. La paroi en dissipe $\frac{j_{s0}^2}{2\gamma \delta }=\frac{E_n^2}{2{\mu }_0^2{c}^2\gamma \delta }$ : la fraction perdue à chaque réflexion vaut $$\frac{E_n^2/(2{\mu }_0^2{c}^2\gamma \delta )}{E_n^2/(8{\mu }_{0}c)}=\frac{4}{{\mu }_{0}c\gamma \delta }=\frac{2{\omega }_n\delta }{c}=\frac{4\pi \delta }{{\lambda }_n}\approx 8,6\times 10^{-5}\text{pour}n=1.$$ Deux réflexions par aller-retour, de durée $2L/c$ : l'énergie décroît au taux relatif $\frac{2\times 4\pi \delta /{\lambda }_n}{2L/c}$ ; son inverse, multiplié par ${\omega }_n$, redonne $Q=\frac{{\omega }_{n}L{\lambda }_n}{4\pi \delta c}=\frac{L}{2\delta }$. Le cuivre renvoie $99,99\%$ du flux à chaque réflexion : d'où l'excellence du modèle parfait ; seules des milliers de réflexions rendent la perte sensible.

6) Cas limites et ordres de grandeur. Quand $\gamma \to \infty$, $\delta \to 0$ et $Q\to \infty$ : la cavité idéale du cours, où un mode oscille indéfiniment et où la raie est infiniment fine. $Q=L/2\delta$ compare la taille de la cavité, où l'énergie est stockée, à l'épaisseur où l'onde « touche » le métal et perd de l'énergie : une cavité est d'autant meilleure qu'elle est grande devant sa peau. Une cavité supraconductrice ($Q\sim 10^{10}$) garde son énergie pendant $Q/\omega \sim 1\mathrm{s}$ à $1,3\mathrm{GHz}$ : une source modeste y accumule une énergie considérable. Dans un four, les parois seules ont un $Q$ de l'ordre de $10^4$ et ne perdent par période que la fraction $2\pi /Q\sim 10^{-3}$ de l'énergie stockée ; l'aliment, très dissipatif, en absorbe une fraction bien plus grande : c'est lui qui fixe l'amortissement, et l'énergie va à l'aliment. (Un four est une cavité à trois dimensions ; le modèle à une dimension n'en donne que les ordres de grandeur.)

Le résultat obtenu — la quantification des modes d'une cavité, $f_n=nc/2L$, et le facteur de qualité d'une cavité à parois réelles, $Q=L/2\delta$. Entre deux plans conducteurs parfaits distants de $L$, la nullité du champ électrique tangent sur les deux parois n'autorise que les ondes stationnaires de vecteurs d'onde $k_n=n\pi /L$, de fréquences $f_n=nc/2L$ ; le mode $n$ stocke, par unité de surface, l'énergie constante $W={\epsilon }_0{E}_n^{2}L/4$, et ses parois portent des courants surfaciques d'amplitude $E_n/{\mu }_{0}c$. Si les parois sont réelles, de conductivité $\gamma$, l'effet Joule de ces courants dans la peau d'épaisseur $\delta$ donne au mode le facteur de qualité $Q=L/2\delta$ : $3,65\times 10^4$ et une bande passante de $27\mathrm{kHz}$ pour une cavité de cuivre de $15\mathrm{cm}$ à $1\mathrm{GHz}$, avec $Q\to \infty$ pour le conducteur parfait.

Ce que le problème installe. La condition de quantification s'établit par les deux conditions aux limites ; le champ magnétique d'un mode se tire de Maxwell-Faraday, jamais de la relation de structure d'une onde progressive. L'énergie stockée, constante, et les courants pariétaux viennent du modèle parfait ; les pertes viennent du modèle réel. Cette méthode perturbative, champ du conducteur parfait puis effet Joule dans la peau, relie le chapitre au précédent et donne un résultat simple, $Q=L/2\delta$, qui dit pourquoi le conducteur parfait est une si bonne idéalisation.