Réflexion d'une impulsion : l'onde « image »

La stratégie. La condition $E_{\parallel }=0$ en $x=0$, écrite pour tout instant, est une équation entre fonctions : elle fixe entièrement la fonction réfléchie, quelle que soit la forme du signal. Pas besoin de supposer une onde sinusoïdale.

1) L'onde réfléchie. Dans le vide, $E_y=F(t-x/c)+G(t+x/c)$. Le terme $G$, qui se propage vers les $x$ décroissants, est l'onde incidente : $G=f$. Le terme $F=g$, qui se propage vers les $x$ croissants, ne peut venir que du métal : c'est l'onde réfléchie (aucune autre source dans $x>0$). Le champ $\overrightarrow{E}$, selon ${\overrightarrow{e}}_y$, est entièrement tangent au plan $x=0$ ; sa nullité sur le métal à tout instant s'écrit $E_y(0,t)=f(t)+g(t)=0$ pour tout $t$. Donc $g=-f$ : $${\overrightarrow{E}}_r(x,t)=-f\left(t-\frac{x}{c}\right){\overrightarrow{e}}_y.$$ La forme dans l'espace. Dans l'onde incidente, $s=t+x/c$ croît avec $x$ : le début du signal (la montée raide) est du côté du métal. Dans l'onde réfléchie, $s=t-x/c$ décroît quand $x$ croît : le début du signal est maintenant le plus loin du métal. L'impulsion réfléchie est l'incidente retournée d'avant en arrière et changée de signe : $E_r(x,t)=-E_i(-x,t)$, l'image par la symétrie par rapport au plan $x=0$, changée de signe, de l'impulsion incidente prolongée fictivement dans le métal. D'où le nom d'onde image.

2) Le champ magnétique n'est pas inversé. Chaque onde est progressive : $\overrightarrow{B}=\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{E}/c$. Pour l'incidente, $\overrightarrow{u}=-{\overrightarrow{e}}_x$, et pour la réfléchie, $\overrightarrow{u}={\overrightarrow{e}}_x$ : $${\overrightarrow{B}}_i=\frac{-{\overrightarrow{e}}_x\wedge f{\overrightarrow{e}}_y}{c}=-\frac{1}{c}f\left(t+\frac{x}{c}\right){\overrightarrow{e}}_z,$$ $${\overrightarrow{B}}_r=\frac{{\overrightarrow{e}}_x\wedge \left(-f{\overrightarrow{e}}_y\right)}{c}=-\frac{1}{c}f\left(t-\frac{x}{c}\right){\overrightarrow{e}}_z.$$ Les deux champs magnétiques ont le même signe : $\overrightarrow{B}$ se réfléchit sans inversion. Au contact, $\overrightarrow{B}(0,t)=-\frac{2f(t)}{c}{\overrightarrow{e}}_z$ : le champ magnétique double, pendant que le champ électrique s'annule. C'est la même réflexion vue sur les deux champs : l'inversion de $\overrightarrow{E}$, avec le retournement de $\overrightarrow{u}$, laisse $\overrightarrow{B}$ inchangé.

3) Le courant suit le signal. Avec le milieu 1 = métal (${\overrightarrow{B}}_1=\overrightarrow{0}$) et ${\overrightarrow{n}}_{1\to 2}={\overrightarrow{e}}_x$ : $\overrightarrow{B}(0^{+},t)={\mu }_0{\overrightarrow{ȷ}}_s\wedge {\overrightarrow{e}}_x$. Le courant est dans le plan ; avec ${\overrightarrow{ȷ}}_s=j_s{\overrightarrow{e}}_y$, ${\overrightarrow{e}}_y\wedge {\overrightarrow{e}}_x=-{\overrightarrow{e}}_z$, donc $-{\mu }_0{j}_s=-2f(t)/c$ : $${\overrightarrow{ȷ}}_s(t)=\frac{2f(t)}{{\mu }_{0}c}{\overrightarrow{e}}_y.$$ Le courant de surface reproduit, au cours du temps, le signal incident : il n'existe que pendant les $1,0\mathrm{ns}$ où l'impulsion touche le métal, et il est dirigé comme le champ incident, qui met en mouvement les électrons de surface. La composante normale $E_x$ est nulle de part et d'autre : $\sigma =0$. Pour $E_0=100\mathrm{V}{\mathrm{m}}^{-1}$, le maximum vaut $0,53\mathrm{A}{\mathrm{m}}^{-1}$.

4) Trois instants. L'incidente occupe les points où $0<t+x/c<\tau$, la réfléchie ceux où $0<t-x/c<\tau$.

• À $t=-0,5\mathrm{ns}$ : seule l'incidente existe, entre $x=15\mathrm{cm}$ et $x=45\mathrm{cm}$, montée raide côté métal.
• À $t=0,5\mathrm{ns}$ : les deux ondes occupent $0<x<15\mathrm{cm}$ et se superposent. Le champ électrique total $f(t+x/c)-f(t-x/c)$ est nul au contact, vaut $-\frac{2}{3}{E}_0$ à $7,5\mathrm{cm}$ ; le champ magnétique total vaut $c{B}_z=-\frac{4}{3}{E}_0$ de $x=0$ à $7,5\mathrm{cm}$.
• À $t=1,5\mathrm{ns}$ : seule la réfléchie existe, entre $15$ et $45\mathrm{cm}$, retournée : sa montée raide est maintenant du côté du large.

L'étendue spatiale de l'impulsion est $c\tau =3,00\times 10^8\times 1,0\times 10^{-9}=30\mathrm{cm}$. Deux réflecteurs distants de $\Delta x$ le long du faisceau renvoient deux échos décalés de $2\Delta x/c$ (aller et retour) ; ils se recouvrent tant que $2\Delta x/c<\tau$, soit $\Delta x<c\tau /2=15\mathrm{cm}$ : la résolution en distance d'un radar est fixée par la durée de ses impulsions.

5) Le cas sinusoïdal. Pour $f(s)=E_0\cos (\omega s)$, la règle $g=-f$ donne ${\overrightarrow{E}}_r=-E_0\cos (\omega t-kx){\overrightarrow{e}}_y$ avec $k=\omega /c$ : c'est l'onde réfléchie du cours, de coefficient de réflexion en amplitude $r=-1$. La somme donne $E_0\left[\cos (\omega t+kx)-\cos (\omega t-kx)\right]=-2E_0\sin (kx)\sin (\omega t)$, l'onde stationnaire du cours. Le « $r=-1$ » n'est donc pas une propriété des ondes sinusoïdales : c'est la forme harmonique de la règle « le métal renvoie le signal changé de signe ».

Ce que l'exercice installe. La condition ${\overrightarrow{E}}_{\parallel }=\overrightarrow{0}$ écrite à tout instant détermine l'onde réfléchie pour un signal quelconque : $g=-f$, l'onde image. Au contact, $\overrightarrow{E}$ s'annule et $\overrightarrow{B}$ double sans s'inverser ; le courant surfacique reproduit le signal incident. La forme de d'Alembert, $F(t-x/c)+G(t+x/c)$, est plus économique que la forme harmonique : elle resservira, avec deux miroirs, à l'exercice 6.