Détecter le rayonnement d'un dipôle : relevés et indicatrice

La stratégie. On prédit d'abord la loi à tester, à partir de la structure du champ ; on linéarise ensuite chaque série pour la vérifier (une droite se juge à l'œil et par ses résidus, une courbe non) ; on interprète enfin chaque loi par un argument du cours : structure, énergie, polarisation.

1) La loi attendue. Soit $\overrightarrow{u}=\cos \theta {\overrightarrow{e}}_x+\sin \theta {\overrightarrow{e}}_z$ la direction de l'émetteur ; $\ddot{\overrightarrow{p}}$ lui est parallèle. Au récepteur, ${\overrightarrow{e}}_r={\overrightarrow{e}}_x$ et la projection de $\ddot{\overrightarrow{p}}$ orthogonale à ${\overrightarrow{e}}_x$ est $\ddot{p}\sin \theta {\overrightarrow{e}}_z$ : le champ reçu est vertical, parallèle au récepteur, et son amplitude vaut $\frac{{\mu }_0{p}_0{\omega }^2}{4\pi r}\sin \theta$ : tourner l'émetteur revient à promener le récepteur sur un méridien. La diode donne $$S=K\frac{{\sin }^2\theta }{r^2},$$ avec $K$ une constante de l'appareil.

2) L'indicatrice mesurée. Avec $x={\sin }^2\theta =0$ ; $0,067$ ; $0,25$ ; $0,50$ ; $0,75$ ; $0,933$ ; $1$, la régression linéaire donne $$S=99,8\mathrm{mV}\times {\sin }^2\theta +0,13\mathrm{mV},R^2=0,9997,$$ avec des résidus inférieurs à $0,9\mathrm{mV}$, soit $1\%$ du maximum, sans tendance. L'ordonnée à l'origine, $0,13\mathrm{mV}$, est de l'ordre du bruit : $S\propto {\sin }^2\theta$, l'indicatrice est en ${\sin }^2\theta$, nulle dans l'axe de l'émetteur, maximale dans son plan équatorial. Pour la représenter, on porte dans chaque direction $\theta$ une longueur proportionnelle à $S(\theta )$ ; les symétries complètent les quatre quadrants.

On peut confier la régression à quelques lignes de Python (facultatif) :

import numpy as np
theta = np.radians([0, 15, 30, 45, 60, 75, 90])
S = np.array([0.4, 6.1, 25.8, 49.5, 75.7, 92.4, 100.3])
pente, origine = np.polyfit(np.sin(theta)**2, S, 1)
print(pente, origine)        # 99.8 et 0.13

3) L'amplitude décroît en $1/r$. Les produits $S{r}^2$ valent $227$ ; $223$ ; $228$ ; $221\mathrm{mV}{\mathrm{m}}^2$ : constants à $\pm 2\%$ près, sans tendance (en coordonnées logarithmiques, la pente vaut $-2,02$). Donc $⟨E^2⟩\propto 1/r^2$ et l'amplitude du champ est en $1/r$. C'est la conservation de l'énergie : le flux du vecteur de Poynting, proportionnel à $E^2{r}^2$, est le même à travers toutes les sphères centrées sur l'émetteur. Un champ quasi statique, en $1/r^3$, donnerait $S{r}^6$ constant.

4) Une onde polarisée rectilignement selon ${\overrightarrow{e}}_{\theta }$. Les rapports $S(\beta )/S(0)$ valent $1$ ; $0,75$ ; $0,50$ ; $0,25$ ; $0,006$, soit ${\cos }^2\beta$ à $1\%$ près : c'est la loi de Malus. Le récepteur tourné de $\beta$ ne capte que la composante $E\cos \beta$ : le champ garde une direction fixe, l'onde est polarisée rectilignement selon ${\overrightarrow{e}}_{\theta }$, dans le plan méridien de l'émetteur et du récepteur. Un récepteur selon ${\overrightarrow{e}}_{\phi }$ ($\beta =90^{\circ }$) ne capte rien (les $0,6\mathrm{mV}$ sont du bruit) ; un récepteur selon ${\overrightarrow{e}}_r$, pointé vers l'émetteur, ne capterait rien non plus : l'onde est transverse.

5) Ni trop près, ni trop loin. $\lambda =30\mathrm{cm}$, $\lambda /2\pi =4,8\mathrm{cm}$. À $5\mathrm{cm}$, $kr\approx 1$ : le champ quasi statique, en $1/r^3$ et de structure différente (il a une composante radiale), est aussi fort que le champ rayonné (exercice 2) ; on ne mesurerait ni la loi en ${\sin }^2\theta$ ni la loi en $1/r$. À $1\mathrm{m}$, $kr=21$ et $(kr{)}^2\approx 440$ : le champ quasi statique est négligeable. Au-delà de quelques mètres, le signal, en $1/r^2$, se perd dans le bruit, et surtout les réflexions sur les murs, la table, l'expérimentateur, ajoutent des ondes qui interfèrent avec l'onde directe : on travaille dans une salle dégagée, ou devant des absorbants.

Ce que l'exercice installe. Détecter une onde rayonnée et tester sa structure : on prédit la loi, on linéarise ($S$ contre ${\sin }^2\theta$, $S{r}^2$ contre $r$, $S$ contre ${\cos }^2\beta$), on interprète chaque loi par un argument du cours : transversalité et projection pour l'indicatrice, énergie pour le $1/r$, loi de Malus pour la polarisation. Et l'on se place là où le modèle vaut : $r\gg \lambda /2\pi$.