Deux dipôles : diriger le rayonnement

La stratégie. Les champs fournis sont linéaires en la source : on superpose les deux champs rayonnés. Le calcul est celui de deux ondes cohérentes de même amplitude, comme pour les trous d'Young : seule compte leur différence de phase, qui mêle la différence de chemin et le déphasage d'alimentation.

1) Deux champs parallèles, déphasés. Pour chaque dipôle, $M$ est dans le plan équatorial ($\theta =\pi /2$) et ${\overrightarrow{e}}_{\theta }=-{\overrightarrow{e}}_z$ : les deux champs sont parallèles à ${\overrightarrow{e}}_z$. Leurs amplitudes, en $1/r_1$ et $1/r_2$ avec $|r_1-r_2|\le d\ll r$, sont égales à $d/r$ près. Les distances diffèrent de la projection de $\overrightarrow{O_1{O}_2}$ sur $\overrightarrow{u}$ : $r_2\approx r_1-d\cos \phi$, d'où une avance de phase $kd\cos \phi$, diminuée du retard d'alimentation $\psi$ : $\Delta =kd\cos \phi -\psi$. Dans la phase, $d\cos \phi$ se compare à $\lambda$, du même ordre ; dans l'amplitude, il se compare à $r$ : négligeable. C'est l'approximation des interférences à l'infini.

2) Le facteur de réseau. Avec $E_1=E_m\cos \omega t^{\prime }$ et $E_2=E_m\cos (\omega t^{\prime }+\Delta )$, où $t^{\prime }=t-r_1/c$ : $$⟨(E_1+E_2{)}^2⟩=E_m^2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cos \Delta \right)=2E_m^2{\cos }^2\frac{\Delta }{2},$$ alors qu'un dipôle seul donne $⟨E_1^2⟩=E_m^2/2$. Comme $⟨\Pi ⟩=⟨E^2⟩/({\mu }_{0}c)$, $⟨\Pi ⟩=4⟨{\Pi }_1⟩{\cos }^2\frac{\Delta }{2}$. C'est la formule de Fresnel pour deux ondes cohérentes de même intensité : les deux dipôles, alimentés par le même générateur, sont des sources cohérentes. Dans le plan équatorial, $⟨{\Pi }_1⟩$ ne dépend pas de $\phi$ : l'indicatrice du réseau est celle du facteur ${\cos }^2(\Delta /2)$.

3) À $\lambda /2$ : émission transverse ou longitudinale. $kd=\pi$. En phase, $\Delta =\pi \cos \phi$ et $⟨\Pi ⟩\propto {\cos }^2\left(\frac{\pi }{2}\cos \phi \right)$ : maximum pour $\phi =\pm \pi /2$, perpendiculairement à la ligne des dipôles, où les deux ondes arrivent en phase ; zéro pour $\phi =0$ et $\pi$, le long de la ligne, où la différence de chemin $\lambda /2$ les met en opposition. Mi-puissance pour $\cos \phi =\pm \frac{1}{2}$, soit $\phi =60^{\circ }$ et $120^{\circ }$ : un lobe de $60^{\circ }$ de large, au lieu d'une émission uniforme. En opposition, $\Delta =\pi (\cos \phi -1)$ et $⟨\Pi ⟩\propto {\sin }^2\left(\frac{\pi }{2}\cos \phi \right)$ : c'est l'inverse, maximum le long de la ligne (la différence de chemin $\lambda /2$ compense le déphasage $\pi$), zéro perpendiculairement.

4) À $\lambda /4$, avec un retard de $\pi /2$. $kd=\pi /2$ et $\Delta =\frac{\pi }{2}(\cos \phi -1)$ : $$⟨\Pi ⟩\propto {\cos }^2\left(\frac{\pi }{4}(1-\cos \phi )\right).$$ Pour $\phi =0$ (vers $+{\overrightarrow{e}}_x$) : ${\cos }^{2}0=1$, maximum, quatre fois un dipôle seul. Pour $\phi =\pi$ (vers $-{\overrightarrow{e}}_x$) : ${\cos }^2(\pi /2)=0$, rien. Pour $\phi =\pm \pi /2$ : $\frac{1}{2}$. Lecture : l'onde de $O_1$ met un quart de période pour atteindre $O_2$, qui émet justement avec un quart de période de retard ; vers $+{\overrightarrow{e}}_x$, les deux ondes partent ensemble, en phase. Vers $-{\overrightarrow{e}}_x$, l'onde de $O_2$ arrive en $O_1$ avec un quart de période de trajet plus un quart de période de retard : une demi-période, en opposition. Le réseau émet d'un seul côté, vers le dipôle alimenté en retard.

5) Ordres de grandeur. À $100\mathrm{MHz}$, $\lambda =3,0\mathrm{m}$ : $d=\lambda /2=1,5\mathrm{m}$, $d=\lambda /4=0,75\mathrm{m}$, des écartements faciles à réaliser sur un pylône. Le long de l'axe $Oz$, chaque dipôle a un champ nul : le réseau ne rayonne rien vers le haut ; le facteur de réseau ne fait que moduler l'indicatrice de chaque dipôle. Le maximum est dans la direction où $kd\cos \phi =\psi$ : en faisant varier électroniquement $\psi$, on oriente le faisceau sans rien tourner, principe des antennes à balayage électronique des radars. Dans cette direction, la puissance est quatre fois celle d'un dipôle, et non deux : l'énergie est redistribuée entre les directions, comme dans toute figure d'interférences.

Ce que l'exercice installe. La superposition des champs rayonnés : deux dipôles cohérents interfèrent comme deux ondes de première année, avec une différence de phase qui mêle chemin ($kd\cos \phi$) et alimentation ($\psi$). L'indicatrice d'un réseau est celle d'un dipôle multipliée par un facteur de réseau en ${\cos }^2(\Delta /2)$ : on choisit l'écartement et le déphasage pour envoyer l'énergie où on la veut.