Le facteur $4/3$ de la formule de Larmor

Avec ${\sin }^3\theta =(1-{\cos }^2\theta )\sin \theta$ et $u=\cos \theta$, $\mathrm{d}u=-\sin \theta \mathrm{d}\theta$ :

$${\int }_0^{\pi }{\sin }^3\theta \mathrm{d}\theta ={\int }_{-1}^1(1-u^2)\mathrm{d}u=2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}.$$

Le flux à travers la sphère de rayon $r$, avec $\mathrm{d}S=r^2\sin \theta \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi$, vaut

$$⟨P⟩=\frac{{\mu }_0{p}_0^2{\omega }^4}{32{\pi }^{2}c}\times 2\pi \times \frac{4}{3}=\frac{{\mu }_0{p}_0^2{\omega }^4}{12\pi c}.$$

Le $r^2$ de l'élément de surface compense le $1/r^2$ du vecteur de Poynting : la puissance ne dépend pas de $r$. La moyenne de ${\sin }^2\theta$ sur la sphère vaut $\frac{1}{4\pi }\times 2\pi \times \frac{4}{3}=\frac{2}{3}$.