Problème : l'atome classique s'effondre, la formule de Larmor appliquée à l'électron en orbite

La stratégie. On décrit d'abord l'orbite par la mécanique de première année ; on reconnaît dans l'atome un dipôle tournant, superposition de deux dipôles oscillants en quadrature, ce qui donne sa puissance, son indicatrice et sa polarisation ; un bilan d'énergie transforme ensuite cette puissance en une vitesse de chute, qu'on intègre.

1) L'orbite. Le proton exerce la force de Coulomb $\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}$, dirigée vers $O$ ; sur une orbite circulaire uniforme, l'accélération est centripète, de norme $v^2/r$ : $$m\frac{v^2}{r}=\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}⟹v=\sqrt{\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_{0}mr}}=c\sqrt{\frac{r_e}{r}}.$$ Pour $r_0$ : $v=2,19\times 10^6\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, $v/c=1/137$ ; $\omega =v/r_0=4,13\times 10^{16}\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$, $f=\omega /2\pi =6,6\times 10^{15}\mathrm{Hz}$, période $T=1,5\times 10^{-16}\mathrm{s}$, et $$\lambda =\frac{2\pi c}{\omega }=45,6\mathrm{nm},$$ dans l'ultraviolet lointain. La taille de l'atome, $2r_0=0,106\mathrm{nm}$, vaut $2,3\times 10^{-3}\lambda$ : l'approximation dipolaire est excellente. Et $\frac{2r_0}{\lambda }=\frac{2r_0\omega }{2\pi c}=\frac{v}{\pi c}$ : pour une charge en orbite, « source petite devant $\lambda$ » et « charge lente devant $c$ » sont la même condition, qui justifie aussi la mécanique et la formule de Larmor non relativistes. L'accélération vaut $a=v^2/r_0=9,0\times 10^{22}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$.

2) Deux dipôles en quadrature. Avec $\overrightarrow{OP}=r(\cos \omega t{\overrightarrow{e}}_x+\sin \omega t{\overrightarrow{e}}_y)$ : $$\overrightarrow{p}=\underset{{\overrightarrow{p}}_x}{\underbrace{-er\cos (\omega t){\overrightarrow{e}}_x}}\underset{{\overrightarrow{p}}_y}{\underbrace{-er\sin (\omega t){\overrightarrow{e}}_y}}:$$ deux dipôles oscillants de même amplitude $p_0=er$, d'axes orthogonaux, en quadrature. Les champs rayonnés sont linéaires en $\ddot{\overrightarrow{p}}$ : $\overrightarrow{E}={\overrightarrow{E}}_x+{\overrightarrow{E}}_y$, où ${\overrightarrow{E}}_x$ varie en $\cos \omega t^{\prime }$ et ${\overrightarrow{E}}_y$ en $\sin \omega t^{\prime }$, avec le même instant retardé $t^{\prime }=t-D/c$. Comme $\overrightarrow{E}\perp {\overrightarrow{e}}_r$, $\overrightarrow{\Pi }=\frac{\overrightarrow{E}\wedge ({\overrightarrow{e}}_r\wedge \overrightarrow{E})}{{\mu }_{0}c}=\frac{E^2}{{\mu }_{0}c}{\overrightarrow{e}}_r$, avec $$E^2=E_x^2+E_y^2+2{\overrightarrow{E}}_x\cdot {\overrightarrow{E}}_y.$$ Le terme croisé est proportionnel à $\cos \omega t^{\prime }\sin \omega t^{\prime }=\frac{1}{2}\sin 2\omega t^{\prime }$, de moyenne nulle : les puissances des deux dipôles s'ajoutent. Par la formule de Larmor, chacun rayonne $\frac{{\mu }_0{e}^2{r}^2{\omega }^4}{12\pi c}$, donc $$⟨P⟩=\frac{{\mu }_0{e}^2{r}^2{\omega }^4}{6\pi c}=\frac{{\mu }_0{e}^2{a}^2}{6\pi c},$$ puisque $a=r{\omega }^2$ : c'est exactement la formule de Larmor pour une charge, ici constante puisque l'accélération a une norme constante (pour un dipôle oscillant, la moyenne du carré de l'accélération est la moitié de son maximum : d'où le $12$ au lieu du $6$). Numériquement : $$P=\frac{4\pi \times 10^{-7}\times (1,602\times 10^{-19}{)}^2\times (9,04\times 10^{22}{)}^2}{6\pi \times 3,00\times 10^8}\approx 4,7\times 10^{-8}\mathrm{W}.$$

3) Maximal dans l'axe, jamais nul. $\ddot{\overrightarrow{p}}=-{\omega }^2\overrightarrow{p}=er{\omega }^2\overrightarrow{w}(t)$, où $\overrightarrow{w}=\cos \omega t{\overrightarrow{e}}_x+\sin \omega t{\overrightarrow{e}}_y$ est unitaire et tourne. Pour une direction ${\overrightarrow{e}}_r$ de colatitude $\theta$ et d'azimut $\phi$, $\overrightarrow{w}\cdot {\overrightarrow{e}}_r=\sin \theta \cos (\omega t-\phi )$, d'où $$\Vert {\ddot{\overrightarrow{p}}}_{\perp }{\Vert }^2=\Vert \ddot{\overrightarrow{p}}{\Vert }^2-(\ddot{\overrightarrow{p}}\cdot {\overrightarrow{e}}_r{)}^2=(er{\omega }^2{)}^2\left[1-{\sin }^2\theta {\cos }^2(\omega t^{\prime }-\phi )\right],$$ de moyenne $(er{\omega }^2{)}^2\left(1-\frac{{\sin }^2\theta }{2}\right)=(er{\omega }^2{)}^2\frac{1+{\cos }^2\theta }{2}$. Par (i), $$\frac{\mathrm{d}⟨P⟩}{\mathrm{d}\Omega }=D^2\frac{⟨E^2⟩}{{\mu }_{0}c}=\frac{{\mu }_0}{16{\pi }^{2}c}⟨\Vert {\ddot{\overrightarrow{p}}}_{\perp }{\Vert }^2⟩=\frac{{\mu }_0{e}^2{r}^2{\omega }^4}{16{\pi }^{2}c}\cdot \frac{1+{\cos }^2\theta }{2}\propto \frac{1+{\cos }^2\theta }{2}.$$ Vérification : $\iint (1+{\cos }^2\theta )\mathrm{d}\Omega =2\pi \left(2+\frac{2}{3}\right)=\frac{16\pi }{3}$, et $\frac{{\mu }_0{e}^2{r}^2{\omega }^4}{32{\pi }^{2}c}\times \frac{16\pi }{3}=\frac{{\mu }_0{e}^2{r}^2{\omega }^4}{6\pi c}$ : on retrouve la puissance de la question 2. Le rayonnement est maximal dans l'axe de l'orbite, deux fois plus intense que dans le plan de l'orbite, et jamais nul : tout le contraire du dipôle oscillant. Depuis l'axe, on voit tout le mouvement circulaire ; depuis le plan de l'orbite, on n'en voit qu'une oscillation rectiligne. Dans le plan méridien $xOz$, ${\overrightarrow{p}}_x$ contribue pour $\frac{1}{2}{\cos }^2\theta$ et ${\overrightarrow{p}}_y$, perpendiculaire à ce plan, pour $\frac{1}{2}$ dans toutes ses directions.

Polarisation. Dans l'axe, ${\overrightarrow{e}}_r={\overrightarrow{e}}_z$ et ${\ddot{\overrightarrow{p}}}_{\perp }=\ddot{\overrightarrow{p}}$ : le champ électrique a une norme constante et tourne à la vitesse angulaire $\omega$, dans le sens de l'électron : la lumière est polarisée circulairement. Dans le plan de l'orbite, par exemple dans la direction ${\overrightarrow{e}}_x$, seule reste la composante ${\ddot{p}}_y{\overrightarrow{e}}_y$ : le champ oscille selon ${\overrightarrow{e}}_y$, la lumière est polarisée rectilignement, dans le plan de l'orbite. Entre les deux, la projection d'un cercle sur un plan oblique est une ellipse, de rapport d'axes $|\cos \theta |$ : la polarisation est elliptique.

4) Un tour ne coûte presque rien. L'énergie cinétique vaut $\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{e^2}{8\pi {\epsilon }_{0}r}$ par la question 1, l'énergie potentielle $-\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_{0}r}$ : $$E_m=\frac{e^2}{8\pi {\epsilon }_{0}r}-\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_{0}r}=-\frac{e^2}{8\pi {\epsilon }_{0}r}.$$ Pour $r_0$ : $E_m=-2,18\times 10^{-18}\mathrm{J}=-13,6\mathrm{eV}$, l'énergie d'ionisation de l'hydrogène. Pendant un tour, l'électron rayonne $PT=4,7\times 10^{-8}\times 1,52\times 10^{-16}\approx 7,1\times 10^{-24}\mathrm{J}$, soit $$\frac{PT}{|E_m|}=3,3\times 10^{-6}.$$ L'énergie perdue en un tour est infime : l'orbite reste quasi circulaire, on peut utiliser à chaque instant les relations de l'orbite circulaire ; la trajectoire est une spirale très serrée.

5) La chute en $1,6\times 10^{-11}$ seconde. Le bilan d'énergie s'écrit $\frac{\mathrm{d}{E}_m}{\mathrm{d}t}=-P$. D'un côté, $\frac{\mathrm{d}{E}_m}{\mathrm{d}t}=\frac{e^2}{8\pi {\epsilon }_0{r}^2}\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}$ ; de l'autre, avec $a=\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_{0}m{r}^2}=\frac{r_e{c}^2}{r^2}$ et ${\mu }_0=\frac{1}{{\epsilon }_0{c}^2}$, $P=\frac{e^2}{6\pi {\epsilon }_0{c}^3}\frac{r_e^2{c}^4}{r^4}=\frac{e^2{r}_e^{2}c}{6\pi {\epsilon }_0{r}^4}$. Donc $$\frac{e^2}{8\pi {\epsilon }_0{r}^2}\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}=-\frac{e^2{r}_e^{2}c}{6\pi {\epsilon }_0{r}^4}⟹\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}=-\frac{8}{6}\frac{r_e^{2}c}{r^2}=-\frac{4}{3}\frac{r_e^{2}c}{r^2}.$$ Homogénéité : $r_e^{2}c/r^2$ est une vitesse. Initialement, $\dot{r}=-1,1\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, deux millions de fois moins que la vitesse orbitale : la spirale est bien serrée. On sépare les variables, $r^2\mathrm{d}r=-\frac{4}{3}{r}_e^{2}c\mathrm{d}t$, et l'on intègre de $0$ à $t$ : $$r^3=r_0^3-4r_e^{2}ct,r(t)=r_0{\left(1-\frac{t}{\tau }\right)}^{1/3},\tau =\frac{r_0^3}{4r_e^{2}c}.$$ $$\tau =\frac{(52,9\times 10^{-12}{)}^3}{4\times (2,82\times 10^{-15}{)}^2\times 3,00\times 10^8}\approx 1,6\times 10^{-11}\mathrm{s}.$$ Le nombre de tours. $\omega =v/r\propto r^{-3/2}$, donc $\omega (t)={\omega }_0{\left(1-\frac{t}{\tau }\right)}^{-1/2}$, et $$N=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{\tau }\omega \mathrm{d}t=\frac{{\omega }_0}{2\pi }\times 2\tau =\frac{{\omega }_0\tau }{\pi }\approx \frac{4,13\times 10^{16}\times 1,56\times 10^{-11}}{\pi }\approx 2,0\times 10^5.$$ Jusqu'au bout ? $v/c=\sqrt{r_e/r}$ n'atteint $1/10$ que pour $r=100r_e$, à quelque $10^{-18}\mathrm{s}$ de la fin : $\tau$ ne dépend pas de ce qui se passe alors.

6) La physique classique en défaut. Pendant la chute, $\omega \propto r^{-3/2}$ croît sans cesse : la fréquence émise balaie continûment l'ultraviolet puis les rayons X. Un gaz de tels atomes émettrait un spectre continu, et aucun atome ne vivrait plus de $10^{-11}\mathrm{s}$. Or les atomes sont stables et l'hydrogène émet des raies (la raie rouge de Balmer à $656\mathrm{nm}$, par exemple). L'électromagnétisme et la mécanique classiques sont en défaut à l'échelle atomique : Bohr, en 1913, postule des orbites stationnaires qui ne rayonnent pas, première étape de la physique quantique.

Ce qui reste vrai. Quand un atome émet (en passant d'un état excité à un état d'énergie plus basse), son rayonnement est très bien décrit par celui d'un dipôle oscillant à la fréquence de la raie (l'exemple « atome excité » du cours), qui en donne même la durée. Pour un électron oscillant, $z=z_0\cos \omega t$, l'énergie d'oscillation vaut $W=\frac{1}{2}m{\omega }^2{z}_0^2$ et la puissance rayonnée $⟨P⟩=\frac{{\mu }_0{e}^2{z}_0^2{\omega }^4}{12\pi c}$ ; donc $${\tau }_c=\frac{W}{⟨P⟩}=\frac{6\pi mc}{{\mu }_0{e}^2{\omega }^2},$$ indépendant de l'amplitude. À $589\mathrm{nm}$, $\omega =3,20\times 10^{15}\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$ et ${\tau }_c\approx 1,6\times 10^{-8}\mathrm{s}=16\mathrm{ns}$ : la durée de vie mesurée de l'état excité du sodium. Le rayonnement dipolaire classique, faux pour la stabilité de l'atome, est juste pour l'émission d'une raie.

Le résultat obtenu — la formule de Larmor appliquée à l'atome classique : son effondrement. Un électron en orbite circulaire autour d'un proton est un dipôle tournant, superposition de deux dipôles oscillants en quadrature ; il rayonne la puissance de Larmor $P=\frac{{\mu }_0{e}^2{a}^2}{6\pi c}$, maximale dans l'axe de l'orbite (indicatrice en $\frac{1}{2}(1+{\cos }^2\theta )$, polarisation circulaire dans l'axe, rectiligne dans le plan). Perdant son énergie, il décrit une spirale serrée, $r^3=r_0^3-4r_e^{2}ct$, et atteint le noyau au bout de $$\tau =\frac{r_0^3}{4r_e^{2}c}\approx 1,6\times 10^{-11}\mathrm{s},$$ en émettant un spectre continu. La stabilité des atomes et leurs spectres de raies réfutent la description classique de l'atome de Rutherford.

Ce que le problème installe. La superposition fait d'un mouvement circulaire deux dipôles oscillants en quadrature, dont les puissances s'ajoutent ; la forme projetée du champ donne l'indicatrice et la polarisation de n'importe quel dipôle ; un bilan d'énergie à perte lente (orbite quasi circulaire) transforme une puissance en une évolution. Et un ordre de grandeur historique : $16$ picosecondes.