Puissance rayonnée par un électron oscillant

Rayonnement du dipôle oscillant · niveau 2

Énoncé

Un électron oscille selon $z (t) = z_{0} cos ω t$ , avec $ω = 5 \times 1 0^{14} rad s^{- 1}$ et $z_{0} = 1 0^{- 10} m$ . Estimer la puissance moyenne rayonnée et la longueur d'onde émise. Quelle durée faudrait-il pour rayonner son énergie d'oscillation $W = \frac{1}{2} m ω^{2} z_{0}^{2}$ ?

Corrigé

Le moment dipolaire a pour amplitude $p_{0} = e z_{0} = 1, 6 \times 1 0^{- 29} C m$ . Par la formule de Larmor,

$⟨ P ⟩ = \frac{μ _{0} p _{0}^{2} ω ^{4}}{12 π c} = \frac{4 π \times 1 0 ^{- 7} \times ( 1 , 6 \times 1 0 ^{- 29} ) ^{2} \times ( 5 \times 1 0 ^{14} ) ^{4}}{12 π \times 3 , 0 \times 1 0 ^{8}} \approx 1, 8 \times 1 0^{- 15} W .$

La longueur d'onde vaut $λ = 2 π c / ω = 3, 8 μ m$ (infrarouge), et $z_{0} ≪ λ$ : l'approximation dipolaire est excellente. L'énergie d'oscillation vaut $W = \frac{1}{2} \times 9, 1 \times 1 0^{- 31} \times (5 \times 1 0^{14})^{2} \times 1 0^{- 20} \approx 1, 1 \times 1 0^{- 21} J$ , rayonnée en $W / ⟨ P ⟩ \approx 6 \times 1 0^{- 7} s$ , soit quelque cinquante millions de périodes : l'oscillation s'amortit lentement.