Conductivité en régime sinusoïdal — exercice corrigé d'électromagnétisme (PC) (chapitre 1)

Conductivité en régime sinusoïdal

Sources du champ électromagnétique · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Un conducteur décrit par le modèle de Drude (densité d'électrons $n$ , temps de relaxation $τ$ , conductivité statique $γ_{0} = n e^{2} τ / m$ ) est soumis au champ $E = E_{0} cos (ω t) u_{x}$ .

En notation complexe, établir la conductivité complexe $γ (ω)$ définie par $j = γ E$ en régime établi.
Exprimer son module et le déphasage du courant sur le champ. Pour le cuivre ( $τ = 2.5 \times 1 0^{- 14} s$ ), calculer la fréquence $f_{c}$ pour laquelle $ω τ = 1$ et la longueur d'onde dans le vide correspondante.
Calculer $ω τ$ , $∣ γ ∣ / γ_{0}$ et le déphasage à $50 Hz$ , à $1 G Hz$ et pour la lumière visible ( $f = 5 \times 1 0^{14} Hz$ ). Conclure sur le domaine de validité de la loi d'Ohm statique.
Exprimer la puissance volumique moyenne cédée aux électrons, et commenter sa valeur pour la lumière visible.

Corrigé

1. Avec $E = E_{0} e^{j ω t} u_{x}$ et $v$ de même dépendance temporelle, $\frac{d v}{d t} = j ω v$ et l'équation de Drude devient

$m j ω v = - e E - \frac{m}{τ} v ⟹ v = - \frac{e τ / m}{1 + j ω τ} E, j = - n e v = \frac{γ _{0}}{1 + j ω τ} E .$

Donc $γ (ω) = \frac{γ _{0}}{1 + j ω τ}$ . En réel, $j (t) = \frac{γ _{0} E _{0}}{1 + ω ^{2} τ ^{2}} cos (ω t - φ)$ .

2. $∣ γ ∣ = \frac{γ _{0}}{1 + ω ^{2} τ ^{2}}$ et $ar g γ = - arctan (ω τ)$ : le courant est en retard de $φ = arctan (ω τ)$ sur le champ, à cause de l'inertie des électrons. $ω τ = 1$ pour

$f_{c} = \frac{1}{2 π τ} = \frac{1}{2 π \times 2 , 5 \times 1 0 ^{- 14}} \approx 6.4 \times 1 0^{12} Hz,$

de longueur d'onde dans le vide $λ_{c} = c / f_{c} \approx 47 μ m$ (infrarouge lointain).

3. Avec $ω τ = 2 π f τ$ :

	$ω τ$	$∣ γ ∣ / γ_{0}$	$φ$
$50 Hz$	$7.9 \times 1 0^{- 12}$	$1$	$\approx 0$
$1 G Hz$	$1.6 \times 1 0^{- 4}$	$1$ (à $1 0^{- 8}$ près)	$0.00 9^{\circ}$
$5 \times 1 0^{14} Hz$	$79$	$1.3 \times 1 0^{- 2}$	$89. 3^{\circ}$

Pour toute l'électronique et toutes les ondes hertziennes, $ω τ ≪ 1$ : la conductivité est réelle et égale à $γ_{0}$ , la loi d'Ohm statique s'applique à chaque instant. Elle cesse de valoir dans l'infrarouge lointain et au-delà.

4. $⟨ p ⟩ = ⟨ j (t) E (t)⟩ = \frac{1}{2} Re (j E^{*}) = \frac{1}{2} Re (γ) E_{0}^{2} = \frac{γ _{0} E _{0}^{2}}{2 ( 1 + ω ^{2} τ ^{2} )}$ . Pour la lumière visible, $\frac{1}{1 + ω ^{2} τ ^{2}} \approx 1.6 \times 1 0^{- 4}$ : le courant, en quadrature avec le champ, ne prélève presque plus d'énergie. Les électrons oscillent sans dissiper : ce comportement « inertiel » est celui d'un plasma, à l'origine du pouvoir réflecteur des métaux.