Conservation de la charge à symétrie sphérique

L'équation de continuité s'écrit

$$\frac{1}{r^2}\frac{\partial (r^{2}j)}{\partial r}+\frac{\partial \rho }{\partial t}=0.$$

Intégrons la forme intégrale sur la boule de rayon $R$ : $\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=-\oint {\oint }_S\overrightarrow{j}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}=-4\pi R^{2}j(R,t)$. Si $j(R,t)>0$ (courant sortant), la charge intérieure $Q(t)$ diminue : la sphère se décharge. Le débit de charge sortant, $I=4\pi R^{2}j(R,t)$, est exactement la vitesse de perte de charge. Inversement, en multipliant l'équation locale par $4\pi r^2$ et en intégrant de $0$ à $R$, on retrouve ce bilan : les formes locale et intégrale sont équivalentes.