Effet Hall dans un ruban

Le ruban vu de face ; ${\overrightarrow{u}}_z$ pointe vers le lecteur ($\odot$).

1. $\overrightarrow{j}=n(-e)\overrightarrow{v}$ est selon $+{\overrightarrow{u}}_x$ : la vitesse de dérive des électrons est selon $-{\overrightarrow{u}}_x$. La force magnétique vaut

$${\overrightarrow{f}}_m=(-e)(-v{\overrightarrow{u}}_x)\wedge (B{\overrightarrow{u}}_z)=evB({\overrightarrow{u}}_x\wedge {\overrightarrow{u}}_z)=-evB{\overrightarrow{u}}_y.$$

Les électrons sont déviés vers la face $y=-\ell /2$, qui se charge négativement ; la face $y=+\ell /2$, appauvrie en électrons, se charge positivement.

2. Ces charges créent un champ électrique transverse, dirigé de la face positive vers la face négative, donc selon $-{\overrightarrow{u}}_y$, qui exerce sur les électrons une force $-e{\overrightarrow{E}}_H$ selon $+{\overrightarrow{u}}_y$, opposée à ${\overrightarrow{f}}_m$. L'accumulation croît jusqu'à ce que les deux forces se compensent : $-e{\overrightarrow{E}}_H+{\overrightarrow{f}}_m=\overrightarrow{0}$, soit

$${\overrightarrow{E}}_H=-\overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{B}=-vB{\overrightarrow{u}}_y.$$

Les électrons circulent alors de nouveau parallèlement à ${\overrightarrow{u}}_x$ (ce régime s'établit en un temps très court, puisque peu de charges suffisent).

3. Le champ dérive du potentiel dans la direction transverse : $U_H=V(+\ell /2)-V(-\ell /2)=-{\int }_{-\ell /2}^{\ell /2}{E}_{H,y}\mathrm{d}y=vB\ell$. Avec $I=nev\ell h$ :

$$U_H=\frac{IB}{neh}=\frac{10\times 1,0}{8,5\times 10^{28}\times 1,6\times 10^{-19}\times 1,0\times 10^{-4}}\approx 7.4\times 10^{-6}\mathrm{V}.$$

Soit quelques microvolts : la vitesse de dérive n'est que $v=\frac{I}{ne\ell h}\approx 7.4\times 10^{-4}\mathrm{m}/\mathrm{s}$, d'où $E_H=vB\approx 7.4\times 10^{-4}\mathrm{V}/\mathrm{m}$, à comparer au champ longitudinal $E=j/\gamma \approx 0.17\mathrm{V}/\mathrm{m}$.

4. Des porteurs positifs de même densité, pour le même $\overrightarrow{j}$, ont une vitesse selon $+{\overrightarrow{u}}_x$ : ${\overrightarrow{f}}_m=ev{\overrightarrow{u}}_x\wedge B{\overrightarrow{u}}_z=-evB{\overrightarrow{u}}_y$, ils sont déviés vers la même face, mais y apportent une charge positive : $U_H$ change de signe, $U_H=-\frac{IB}{neh}$. Le signe de $U_H$ révèle donc celui des porteurs. Pour le semi-conducteur :

$$U_H=\frac{IB}{neh}=\frac{10^{-2}\times 1,0}{10^{22}\times 1,6\times 10^{-19}\times 10^{-4}}\approx 63\mathrm{mV}.$$

Avec un courant mille fois plus faible, la tension est près de dix mille fois plus grande que dans le cuivre, car $U_H$ est inversement proportionnelle à la densité de porteurs : une sonde à effet Hall en semi-conducteur, alimentée par un courant connu, délivre une tension aisément mesurable et proportionnelle à $B$.