Établir la conservation de la charge par un bilan : de la tranche à la coquille

La stratégie. Un bilan s'écrit toujours de la même façon : ce qui varie dans le volume égale ce qui entre moins ce qui sort, faute de création. On choisit un volume fixe, découpé selon la géométrie : une tranche quand $\overrightarrow{j}$ ne dépend que de $x$, une coquille quand il ne dépend que de $r$. Ce qui s'échange à travers une surface, c'est une intensité (densité multipliée par aire), et non une densité.

1) La tranche. La tranche contient la charge $\rho (x,t)S\mathrm{d}x$, qui varie entre $t$ et $t+\mathrm{d}t$ de $\frac{\partial \rho }{\partial t}\mathrm{d}tS\mathrm{d}x$. Pendant $\mathrm{d}t$, la charge $j(x,t)S\mathrm{d}t$ entre par la face d'abscisse $x$ et la charge $j(x+\mathrm{d}x,t)S\mathrm{d}t$ sort par la face d'abscisse $x+\mathrm{d}x$ ; rien ne traverse la surface latérale, puisque $\overrightarrow{j}$ est parallèle à ${\overrightarrow{u}}_x$. La charge étant conservée, $$\frac{\partial \rho }{\partial t}\mathrm{d}tS\mathrm{d}x=\left[j(x,t)-j(x+\mathrm{d}x,t)\right]S\mathrm{d}t=-\frac{\partial j}{\partial x}\mathrm{d}xS\mathrm{d}t,$$ au premier ordre en $\mathrm{d}x$, d'où $\frac{\partial \rho }{\partial t}+\frac{\partial j}{\partial x}=0$. Hypothèses : volume fixe, ni création ni destruction de charge.

2) La coquille. Notons $\Phi (r,t)=4\pi r^{2}j(r,t)$ l'intensité qui traverse la sphère de rayon $r$, orientée vers l'extérieur. La coquille a pour volume $4\pi r^2\mathrm{d}r$ au premier ordre et contient la charge $\rho (r,t)4\pi r^2\mathrm{d}r$. Pendant $\mathrm{d}t$, la charge $\Phi (r,t)\mathrm{d}t$ entre par la sphère intérieure et la charge $\Phi (r+\mathrm{d}r,t)\mathrm{d}t$ sort par la sphère extérieure. Le bilan s'écrit $$\frac{\partial \rho }{\partial t}4\pi r^2\mathrm{d}r\mathrm{d}t=\left[\Phi (r,t)-\Phi (r+\mathrm{d}r,t)\right]\mathrm{d}t=-\frac{\partial \Phi }{\partial r}\mathrm{d}r\mathrm{d}t,$$ donc $$\frac{\partial \rho }{\partial t}=-\frac{1}{4\pi r^2}\frac{\partial \left(4\pi r^{2}j\right)}{\partial r}=-\frac{1}{r^2}\frac{\partial \left(r^{2}j\right)}{\partial r}.$$ Le facteur $r^2$ vient de l'aire $4\pi r^2$ des sphères : la sphère extérieure est plus grande que la sphère intérieure, et c'est le débit $4\pi r^{2}j$ qui se conserve, pas la densité $j$. Écrire $\frac{\partial j}{\partial r}$ reviendrait à traiter la coquille comme une tranche de section constante, ce qu'elle n'est pas. On vient d'établir l'expression de la divergence d'un champ radial en coordonnées sphériques, $\frac{1}{r^2}\frac{\partial (r^{2}j)}{\partial r}$, que l'exercice résolu correspondant du chapitre admet.

3) Le régime stationnaire. $\frac{\partial \rho }{\partial t}=0$ impose $\frac{\partial (r^{2}j)}{\partial r}=0$ : $r^{2}j$ ne dépend pas de $r$, et l'intensité $I=4\pi r^{2}j$ est la même à travers toutes les sphères. Le vecteur $\overrightarrow{j}$ n'est pas uniforme : $j=\frac{I}{4\pi r^2}$ décroît comme $1/r^2$, parce que le même courant se répartit sur des sphères de plus en plus grandes. C'est la forme du courant autour d'une électrode, qu'utilise le problème.

4a) La boule en expansion. Dans la boule, $\rho (t)=\frac{3Q}{4\pi R(t{)}^3}$ ne dépend pas de $r$, et $$\frac{\partial \rho }{\partial t}=-\frac{9Q\dot{R}}{4\pi R^4}=-3\rho \frac{\dot{R}}{R}.$$ Par ailleurs $j=\rho v=\rho \frac{\dot{R}}{R}r$, donc $r^{2}j=\rho \frac{\dot{R}}{R}{r}^3$ et $$\frac{1}{r^2}\frac{\partial \left(r^{2}j\right)}{\partial r}=\frac{1}{r^2}\rho \frac{\dot{R}}{R}3r^2=3\rho \frac{\dot{R}}{R}.$$ La somme est nulle : l'équation locale est satisfaite.

4b) La charge totale. Une sphère fixe de rayon supérieur à $R(t)$ est entièrement dans la région sans charge, où $\overrightarrow{j}=\overrightarrow{0}$ : aucun flux ne la traverse, la charge qu'elle contient, $Q$, est constante.

4c) La sphère fixe franchie par le front. Tant que $R(t)<r_0$, la boule est entière dans la sphère : $Q_{\mathrm{int}}=Q$, et $j(r_0,t)=0$ ; le bilan est vérifié. Dès que $R(t)>r_0$, la sphère ne contient que la partie de la boule de rayon $r_0$ : $$Q_{\mathrm{int}}(t)=\rho (t)\frac{4}{3}\pi r_0^3=Q{\left(\frac{r_0}{R(t)}\right)}^3,$$ qui décroît. Vérifions le bilan : $\frac{\mathrm{d}{Q}_{\mathrm{int}}}{\mathrm{d}t}=-3Q\frac{r_0^3\dot{R}}{R^4}$, et $$-4\pi r_0^{2}j(r_0,t)=-4\pi r_0^2\rho \frac{\dot{R}}{R}{r}_0=-4\pi r_0^3\frac{3Q}{4\pi R^3}\frac{\dot{R}}{R}=-3Q\frac{r_0^3\dot{R}}{R^4}.$$ Les deux expressions coïncident. Cas limites : à l'instant où $R=r_0$, $Q_{\mathrm{int}}=Q$ des deux côtés (continuité), mais la pente passe de $0$ à $-3Q\dot{R}/r_0$ ; quand $R\to \infty$, $Q_{\mathrm{int}}\to 0$ : toute la charge finit par sortir de n'importe quelle sphère fixe.

Ce que l'exercice installe. La conservation de la charge s'établit par un bilan sur un volume fixe adapté à la géométrie : variation = entrées moins sorties. Ce qui se conserve d'une surface à l'autre est une intensité, d'où le facteur $r^2$ en sphérique et la décroissance en $1/r^2$ d'un courant radial stationnaire. Et l'on vérifie une solution proposée en calculant séparément les deux termes de l'équation locale, puis le bilan intégral.