Modèle de Drude : conductivité et temps de relaxation du cuivre

1. La relation fondamentale de la dynamique donne $m\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{v}}{\mathrm{d}t}=-e\overrightarrow{E}-\frac{m}{\tau }\overrightarrow{v}$, soit $\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{v}}{\mathrm{d}t}+\frac{\overrightarrow{v}}{\tau }=-\frac{e}{m}\overrightarrow{E}$. Solution particulière constante ${\overrightarrow{v}}_{\infty }=-\frac{e\tau }{m}\overrightarrow{E}$, solution de l'équation homogène en ${\mathrm{e}}^{-t/\tau }$ ; avec $\overrightarrow{v}(0)=\overrightarrow{0}$ :

$$\overrightarrow{v}(t)=-\frac{e\tau }{m}\overrightarrow{E}\left(1-{\mathrm{e}}^{-t/\tau }\right).$$

L'écart relatif au régime permanent est ${\mathrm{e}}^{-t/\tau }$, inférieur à $1\%$ pour $t>\tau \ln 100\approx 4,6\tau$.

2. En régime permanent, $\overrightarrow{j}=n(-e){\overrightarrow{v}}_{\infty }=\frac{n{e}^2\tau }{m}\overrightarrow{E}$ : c'est la loi d'Ohm locale $\overrightarrow{j}=\gamma \overrightarrow{E}$, avec $\gamma =\frac{n{e}^2\tau }{m}$. La conductivité croît avec la densité de porteurs et avec la durée entre deux collisions.

3. On en tire

$$\tau =\frac{\gamma m}{n{e}^2}=\frac{5,9\times 10^7\times 9,1\times 10^{-31}}{8,5\times 10^{28}\times (1,6\times 10^{-19}{)}^2}\approx 2.5\times 10^{-14}\mathrm{s}.$$

4. $j=I/S=1\times 10^6\mathrm{A}/{\mathrm{m}}^2$ et $E=j/\gamma =10^6/(5,9\times 10^7)\approx 1.7\times 10^{-2}\mathrm{V}/\mathrm{m}$ : quelques centièmes de volt par mètre suffisent. Le régime permanent s'établit en $5\tau \approx 1\times 10^{-13}\mathrm{s}$, durée infime devant la période du secteur ($20\mathrm{ms}$) : à chaque instant, les électrons ont la vitesse de dérive correspondant au champ instantané, et la loi d'Ohm locale s'applique en régime lentement variable.