Résistance et effet Joule d'un fil — exercice corrigé d'électromagnétisme (PC) (chapitre 1)

Résistance et effet Joule d'un fil

Sources du champ électromagnétique · niveau 1 (application)

Énoncé

Établir l'expression de la résistance d'un fil cylindrique de longueur $L$ , de section $S$ et de conductivité $γ$ , parcouru par un courant uniforme et stationnaire.
Un fil de cuivre ( $γ = 5.9 \times 1 0^{7} S / m$ ) de longueur $L = 50 m$ et de section $S = 1.5 m m^{2}$ est parcouru par $I = 16 A$ . Calculer sa résistance $R$ , la tension à ses bornes et la puissance dissipée par effet Joule, de deux manières.

Corrigé

1. Le courant est uniforme, parallèle à l'axe $u_{x}$ : $j = I / S$ , et la loi d'Ohm locale donne un champ uniforme $E = j / γ = \frac{I}{γ S}$ . La tension aux bornes est la circulation du champ le long du fil : $U = \int_{0}^{L} E d x = \frac{L}{γ S} I$ . Par identification avec $U = R I$ , $R = \frac{L}{γ S}$ .

$R = \frac{L}{γ S} = \frac{50}{5 , 9 \times 1 0 ^{7} \times 1 , 5 \times 1 0 ^{- 6}} \approx 0.56 Ω, U = R I \approx 9.0 V .$

La puissance dissipée est

$P = R I^{2} \approx 0, 565 \times 1 6^{2} \approx 145 W .$

Par la forme volumique : $j = I / S \approx 1.07 \times 1 0^{7} A / m^{2}$ , $p = j^{2} / γ \approx 1.9 \times 1 0^{6} W / m^{3}$ , et $P = p (S L) = 1, 93 \times 1 0^{6} \times 1, 5 \times 1 0^{- 6} \times 50 \approx 145 W$ : cohérent. Ces quelque $3 W$ par mètre de fil expliquent qu'une section de $1.5 m m^{2}$ soit limitée à $16 A$ dans une installation domestique.