Temps de relaxation diélectrique

Combinons l'équation de continuité, la loi d'Ohm et Maxwell--Gauss :

$$\frac{\partial \rho }{\partial t}=-\mathrm{div}\overrightarrow{j}=-\gamma \mathrm{div}\overrightarrow{E}=-\gamma \frac{\rho }{{\epsilon }_0}.$$

D'où $\frac{\partial \rho }{\partial t}=-\frac{\rho }{{\tau }_d}$ avec ${\tau }_d=\frac{{\epsilon }_0}{\gamma }$, soit $\rho (M,t)=\rho (M,0){\mathrm{e}}^{-t/{\tau }_d}$. Pour le cuivre :

$${\tau }_d=\frac{{\epsilon }_0}{\gamma }=\frac{8,85\times 10^{-12}}{5,9\times 10^7}\approx 1.5\times 10^{-19}\mathrm{s}.$$

Deux temps de relaxation à ne pas confondre. Le temps $\tau \approx 2.5\times 10^{-14}\mathrm{s}$ de Drude décrit les collisions des électrons ; ${\tau }_d$ décrit l'évacuation d'une charge volumique ; ils diffèrent d'un facteur $\tau /{\tau }_d\approx 1,7\times 10^5$. Pour le cuivre, ${\tau }_d$ est même bien plus court que $\tau$ : à cette échelle de temps, la loi d'Ohm statique ne s'applique plus (la conductivité n'est réelle que pour $\omega \tau \ll 1$) et la valeur obtenue n'est qu'indicative. La conclusion demeure : un excès de charge dans le volume d'un bon conducteur disparaît en un temps inobservable, c'est pourquoi on considère $\rho =0$ dans le volume d'un conducteur. Pour un sol humide, ${\tau }_d=8,85\times 10^{-12}/10^{-2}\approx 9\times 10^{-10}\mathrm{s}$, de l'ordre de la nanoseconde : très court devant la centaine de microsecondes d'un éclair, ce qui justifie le régime stationnaire à chaque instant admis dans le problème de la prise de terre des travaux dirigés.