Une même charge, plusieurs modèles : choisir, relier, compter

La stratégie. Le choix du modèle dépend de l'échelle d'observation, pas de l'objet : on compare la taille de la distribution à la distance d'où l'on regarde. Les relations entre densités s'obtiennent toutes de la même façon : on écrit la charge d'une même portion dans les deux modèles. La charge totale s'obtient en découpant en éléments où la densité est uniforme : ici des coquilles d'épaisseur $\mathrm{d}r$.

1) Le nuage d'orage. $\rho =\frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3}=\frac{-40}{\frac{4}{3}\pi \times 10^9}\approx -9,5\times 10^{-9}\mathrm{C}{\mathrm{m}}^{-3}$, de l'ordre de $-10^{-8}\mathrm{C}{\mathrm{m}}^{-3}$. a) Dans le nuage, le champ en un point dépend de la répartition de la charge autour de ce point : il faut le modèle volumique. b) Depuis $20\mathrm{km}$, le nuage est vu sous un rapport $R/D=0,05$ : en première approximation, c'est une charge ponctuelle de $-40\mathrm{C}$, les détails de la répartition ne modifiant le champ que par des corrections d'autant plus petites que $R/D$ est petit. C'est l'observateur qui choisit le modèle.

2) Relier les densités. a) Une portion de couche d'aire $A$ contient la charge $\rho (Ah)$ ; la surface chargée équivalente porte $\sigma A$. L'égalité des charges donne $\sigma =\rho h$. Si $\rho$ varie dans l'épaisseur, le même raisonnement sur une colonne d'aire $\mathrm{d}A$ donne $\sigma =\int \rho \mathrm{d}z$, l'intégrale portant sur l'épaisseur. b) Une longueur $\ell$ de cylindre contient $\rho \pi a^2\ell =\lambda \ell$, d'où $\lambda =\rho \pi a^2$. Dans les deux cas, l'idéalisation conserve la charge par unité de surface ou de longueur et oublie une ou deux dimensions : elle est légitime quand l'épaisseur $h$, ou le rayon $a$, est petit devant la distance d'observation et devant les autres dimensions.

3) La couche réelle. La densité surfacique vaut $\sigma ={\epsilon }_0{E}_d=8,85\times 10^{-12}\times 3,0\times 10^6\approx 2,66\times 10^{-5}\mathrm{C}{\mathrm{m}}^{-2}$, soit $26,6\mu \mathrm{C}{\mathrm{m}}^{-2}$. Densité volumique dans la couche, en valeur absolue : ${\rho }_c=\frac{\sigma }{h}=\frac{2,66\times 10^{-5}}{10^{-10}}\approx 2,7\times 10^5\mathrm{C}{\mathrm{m}}^{-3}$. Mais la densité de charge des électrons libres vaut $ne=8,5\times 10^{28}\times 1,60\times 10^{-19}\approx 1,36\times 10^{10}\mathrm{C}{\mathrm{m}}^{-3}$ : le rapport est ${\rho }_c/(ne)\approx 2\times 10^{-5}$. Par mètre carré, les électrons excédentaires sont au nombre de $\sigma /e=2,66\times 10^{-5}/1,60\times 10^{-19}\approx 1,7\times 10^{14}$, quand les atomes de surface sont environ $n^{2/3}=(8,5\times 10^{28}{)}^{2/3}\approx 1,9\times 10^{19}$ : un électron excédentaire pour environ cent mille atomes de surface. Une perturbation infime du gaz d'électrons, en accord avec l'exercice 1, même au seuil du claquage. $\sigma$ idéalise une couche d'épaisseur atomique : à toute distance grande devant $0,1\mathrm{nm}$, seule compte la charge par unité de surface, et c'est ce que fait le modèle du condensateur plan par deux plans chargés.

4a) La charge du nuage électronique. La densité ne dépend que de $r$ : on découpe l'espace en coquilles comprises entre les sphères de rayons $r^{\prime }$ et $r^{\prime }+\mathrm{d}{r}^{\prime }$, de volume $4\pi r^{\prime 2}\mathrm{d}{r}^{\prime }$, sur lesquelles $\rho$ est uniforme. Donc $$Q(r)={\int }_0^r\rho (r^{\prime })4\pi r^{\prime 2}\mathrm{d}{r}^{\prime }=-\frac{4e}{a_0^3}{\int }_0^r{r}^{\prime 2}{\mathrm{e}}^{-2r^{\prime }/a_0}\mathrm{d}{r}^{\prime }=-e{\int }_0^{x}4u^2{\mathrm{e}}^{-2u}\mathrm{d}u,$$ avec le changement de variable $u=r^{\prime }/a_0$. Posons $F(x)=1-{\mathrm{e}}^{-2x}\left(1+2x+2x^2\right)$. On a $F(0)=0$ et $$F^{\prime }(x)=2{\mathrm{e}}^{-2x}\left(1+2x+2x^2\right)-{\mathrm{e}}^{-2x}\left(2+4x\right)=4x^2{\mathrm{e}}^{-2x},$$ donc $F(x)={\int }_0^{x}4u^2{\mathrm{e}}^{-2u}\mathrm{d}u$ et $Q(r)=-eF(r/a_0)$.

4b) Lecture. Quand $x\to \infty$, $F\to 1$ : la charge totale vaut $-e$, et l'atome, avec son proton, est neutre. Fractions : $F(1)=1-5{\mathrm{e}}^{-2}\approx 0,32$ ; $F(2)=1-13{\mathrm{e}}^{-4}\approx 0,76$ ; $F(3)=1-25{\mathrm{e}}^{-6}\approx 0,94$. L'équation $F(x)=\frac{1}{2}$ se résout numériquement (par dichotomie) : $x\approx 1,34$, la moitié de la charge est dans la sphère de rayon $1,34a_0\approx 71\mathrm{pm}$. Le nuage n'a pas de bord : $F$ n'atteint jamais $1$, même si $99,7\%$ de la charge est à moins de $5a_0$. Vu depuis un nanomètre, l'atome est neutre et ponctuel ; il faut le modèle volumique aux distances de l'ordre de $a_0$.

Ce que l'exercice installe. Trois gestes du programme. Choisir : le modèle dépend du rapport entre la taille de la distribution et la distance d'observation. Relier : on écrit la charge d'une même portion dans les deux modèles ($\sigma =\rho h$, $\lambda =\rho \pi a^2$) ; l'idéalisation conserve la charge et oublie une dimension. Compter : on découpe en éléments où la densité est uniforme, ici des coquilles $4\pi r^2\mathrm{d}r$, et l'on vérifie une primitive en la dérivant.