Dipôle dans un champ non uniforme — exercice corrigé d'électromagnétisme (PC) (chapitre 2)

Dipôle dans un champ non uniforme

Électrostatique · niveau 2

Énoncé

Un dipôle rigide $p = p u_{z}$ est placé sur l'axe d'un champ non uniforme $E = E (z) u_{z}$ . On donne la résultante des actions qu'il subit, $F = (p \cdot grad) E$ , qui se réduit ici à $F_{z} = p \frac{d E}{d z}$ , et son énergie potentielle $E_{p} = - p \cdot E$ .

Vérifier la cohérence de ces deux expressions. Discuter le sens du déplacement selon l'orientation de $p$ .
Une molécule d'eau ( $p = 6.2 \times 1 0^{- 30} Cm$ ) est à la distance $r = 0.3 nm$ d'un ion de charge $Q$ . Comment s'oriente-t-elle ? Montrer qu'elle est attirée par l'ion, quel que soit le signe de $Q$ , et comparer, pour $∣ Q ∣ = e$ , la force à celle qu'exercerait l'ion sur une charge $e$ à la même distance.

Corrigé

Avec $E_{p} = - pE (z)$ , la force qui en dérive est $F_{z} = - \frac{d E _{p}}{d z} = p \frac{d E}{d z}$ : les deux expressions fournies concordent. Si $p$ est dans le sens de $E$ ( $p > 0$ avec $E > 0$ , orientation stable), le dipôle va vers les $z$ où $E$ croît : il est attiré vers les régions de champ intense, là où son énergie $- pE$ est la plus basse. Dans le sens opposé, il en est repoussé, mais cette orientation est instable : le couple le retourne, puis il est attiré.
La molécule s'oriente d'abord selon le champ radial de l'ion : $p$ dans le sens de $E$ , c'est-à-dire tourné vers l'extérieur si $Q > 0$ (oxygène vers l'ion), vers l'ion si $Q < 0$ . Sur l'axe radial, la norme du champ, $\frac{∣ Q ∣}{4 π ε _{0} r ^{2}}$ , décroît avec $r$ ; le dipôle, aligné, est attiré vers les champs intenses, donc vers l'ion, dans les deux cas. Pour $Q > 0$ : $F_{r} = p \frac{d E}{d r} = - \frac{2 pQ}{4 π ε _{0} r ^{3}} < 0$ ; pour $Q < 0$ , $p = - p u_{r}$ et $E_{r} = - \frac{∣ Q ∣}{4 π ε _{0} r ^{2}}$ donnent $F_{r} = (- p) \frac{d E _{r}}{d r} = - \frac{2 p ∣ Q ∣}{4 π ε _{0} r ^{3}} < 0$ . Valeur pour $∣ Q ∣ = e$ :

$∣ F_{r} ∣ = \frac{2 p e}{4 π ε _{0} r ^{3}} \approx 6.6 \times 1 0^{- 10} N, \frac{∣ F _{r} ∣}{e ^{2} / ( 4 π ε _{0} r ^{2} )} = \frac{2 p}{er} \approx 0, 26.$

La force ion-dipôle reste du même ordre que la force entre deux ions à cette distance, mais décroît en $1/ r^{3}$ au lieu de $1/ r^{2}$ : elle est de plus courte portée.