électromagnétisme (PC) · Chapitre 2 · Application directe du cours

Dipôle induit : polarisabilité et volume de l'atome

Électrostatique · niveau 2

Énoncé

On reprend le modèle de l'atome d'hydrogène : noyau ponctuel $+ e$ , nuage électronique assimilé à une boule de rayon $a$ uniformément chargée de la charge $- e$ , qui reste indéformée. Écarté de $x$ du centre du nuage, le noyau subit la force de rappel $- k x$ , avec $k = \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} a ^{3}}$ (exercice résolu plus haut).

L'atome est placé dans un champ extérieur uniforme $E_{0}$ . Déterminer le décalage d'équilibre entre le noyau et le centre du nuage, puis le moment dipolaire induit. En déduire la polarisabilité $α$ , définie par $p = α ε_{0} E_{0}$ , et la relier au volume de l'atome.
Calculer $α$ pour $a = 53 pm$ ; la valeur mesurée pour l'hydrogène est $8.4 \times 1 0^{- 30} m^{3}$ . Quel moment un champ de $1 0^{6} V / m$ induit-il ? Le comparer au moment permanent de la molécule d'eau, $6.2 \times 1 0^{- 30} Cm$ .
Les polarisabilités mesurées de l'hélium, de l'argon et du césium valent $2.6 \times 1 0^{- 30} m^{3}$ , $2.1 \times 1 0^{- 29} m^{3}$ et $7.5 \times 1 0^{- 28} m^{3}$ . Associer à chacune le rayon $a_{α} = (α /4 π)^{1/3}$ et commenter.

Corrigé

Le noyau subit $e E_{0}$ et la force du nuage ; le nuage subit $- e E_{0}$ et la force opposée du noyau. À l'équilibre, le noyau est décalé dans le sens du champ, de $x$ tel que $e E_{0} - k x = 0$ :

$x = \frac{e E _{0}}{k} = \frac{4 π ε _{0} a ^{3}}{e} E_{0} .$

Le barycentre des charges positives (le noyau) est décalé de $x$ par rapport à celui des charges négatives (le centre du nuage) : l'atome porte le moment induit $p = e x = 4 π ε_{0} a^{3} E_{0}$ , dans le sens du champ. Par identification avec $p = α ε_{0} E_{0}$ :

$α = 4 π a^{3} = 3 \times \frac{4}{3} π a^{3} .$

La polarisabilité est un volume : trois fois le volume de l'atome dans ce modèle. Un nuage plus étendu (plus grand $a$ ) est moins retenu ( $k \propto 1/ a^{3}$ ) et se décale davantage.

$α = 4 π \times (53 \times 1 0^{- 12})^{3} \approx 1.9 \times 1 0^{- 30} m^{3}$ , quatre à cinq fois moins que la valeur mesurée : le modèle, grossier (le vrai nuage n'est ni uniforme ni rigide), donne le bon ordre de grandeur. Avec la valeur mesurée, $p = α ε_{0} E = 8, 4 \times 1 0^{- 30} \times 8, 85 \times 1 0^{- 12} \times 1 0^{6} \approx 7.4 \times 1 0^{- 35} Cm$ , cent mille fois moins que le moment permanent de l'eau. Même dans un champ voisin du champ disruptif, le dipôle induit reste infime ; il ne devient notable que dans les champs intenses qui règnent au voisinage immédiat d'un ion ou d'une molécule.
$a_{α} \approx 59 pm$ pour l'hélium, $118 pm$ pour l'argon, $390 pm$ pour le césium : des longueurs de l'ordre de la taille des atomes, rangées comme elles. L'hélium, plus petit atome, aux deux électrons très liés, est le moins polarisable ; le césium, l'un des plus gros, dont l'électron externe est loin du noyau et peu retenu, l'est trois cents fois plus. En ordre de grandeur, $α \sim 4 π a^{3}$ : la polarisabilité mesure le volume de l'atome.

100 % gratuit

La suite du chapitre est sur Adloun

20 autres exercices corrigés dans ce chapitre, et 4 à chercher avec le tuteur
Les 2 QCM du chapitre, le premier sans compte
Le podcast et la vidéo du chapitre et la correction filmée du TD : 2 minutes sans compte
Le tuteur, qui guide pas à pas sans donner la réponse

Exercice suivant et tuteur

Sans compte : le cours, le premier QCM et 2 minutes de podcast et de vidéo. Exercices et tuteur : inscription gratuite en 30 secondes, sans carte bancaire.

Le cours du chapitre · Tous les exercices du chapitre

Exercice suivant et tuteur →