Dipôle : potentiel établi, champ dans l'axe et dans le plan équatorial, validité de l'approximation dipolaire

• Par superposition des deux charges ponctuelles, $V=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}(\frac{1}{r_{+}}-\frac{1}{r_{-}})$. Le doublet est neutre et observé à grande distance, $r\gg d$ : au premier ordre en $d/r$, $r_{\pm }^2=r^2\mp rd\cos \theta +\frac{d^2}{4}$ donne $\frac{1}{r_{\pm }}\simeq \frac{1}{r}(1\pm \frac{d\cos \theta }{2r})$, d'où

$$V\simeq \frac{qd\cos \theta }{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}=\frac{p\cos \theta }{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}.$$

Le terme en $1/r$, celui de la charge totale, est nul : $V$ décroît en $1/r^2$ et le champ en $1/r^3$, contre $1/r$ et $1/r^2$ pour une charge ponctuelle. Les deux charges opposées se masquent mutuellement vu de loin.

• $E_r=\frac{2p\cos \theta }{4\pi {\epsilon }_0{r}^3}$, $E_{\theta }=\frac{p\sin \theta }{4\pi {\epsilon }_0{r}^3}$. Dans l'axe, $\overrightarrow{E}=\frac{2p}{4\pi {\epsilon }_0{r}^3}{\overrightarrow{u}}_r$, colinéaire à $\overrightarrow{p}$ et de même sens. Dans le plan équatorial, $\overrightarrow{E}=\frac{p}{4\pi {\epsilon }_0{r}^3}{\overrightarrow{u}}_{\theta }$, opposé à $\overrightarrow{p}$. À même distance, le champ axial est deux fois plus intense.
• Sur l'axe, $+q$ est à $r-d/2$ et $-q$ à $r+d/2$ :

$$E_{\text{exact}}=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}\left[\frac{1}{(r-d/2{)}^2}-\frac{1}{(r+d/2{)}^2}\right]=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{2rd}{{\left(r^2-d^2/4\right)}^2},$$

donc

$$\frac{E_{\text{dip}}}{E_{\text{exact}}}={\left(1-\frac{d^2}{4r^2}\right)}^2.$$

L'approximation sous-estime le champ de $12\%$ à $r=2d$, $2,0\%$ à $5d$, $0,5\%$ à $10d$ : l'écart décroît comme $d^2/2r^2$. Dès quelques $d$, le modèle dipolaire est excellent.