Énergie de constitution d'un noyau ; pourquoi les gros noyaux fissionnent

• Lorsque la boule a le rayon $r$ et la densité finale $\rho =\frac{3Q}{4\pi R^3}$, elle porte $q(r)=Q\frac{r^3}{R^3}$ et crée sur sa surface le potentiel $V(r)=\frac{q(r)}{4\pi {\epsilon }_{0}r}$ (théorème de Gauss : à l'extérieur, tout se passe comme si la charge était au centre). Apporter de l'infini la couche $\mathrm{d}q=\frac{3Q{r}^2}{R^3}\mathrm{d}r$ coûte $\mathrm{d}W=V(r)\mathrm{d}q$ :

$$\mathrm{d}W=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Q{r}^2}{R^3}\frac{3Q{r}^2}{R^3}\mathrm{d}r=\frac{3Q^2}{4\pi {\epsilon }_0{R}^6}{r}^4\mathrm{d}r,W=\frac{3Q^2}{4\pi {\epsilon }_0{R}^6}\frac{R^5}{5}=\frac{3}{5}\frac{Q^2}{4\pi {\epsilon }_{0}R}.$$

• Le champ est radial. À l'intérieur, $E=\frac{Qr}{4\pi {\epsilon }_0{R}^3}$ ; à l'extérieur, $E=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}$. En sommant $u_e$ sur des coquilles de volume $4\pi r^2\mathrm{d}r$ :

$$W_{\text{int}}={\int }_0^R\frac{{\epsilon }_0}{2}\frac{Q^2{r}^2}{16{\pi }^2{\epsilon }_0^2{R}^6}4\pi r^2\mathrm{d}r=\frac{Q^2}{8\pi {\epsilon }_{0}R}\cdot \frac{1}{5},$$

$$W_{\text{ext}}={\int }_R^{\infty }\frac{{\epsilon }_0}{2}\frac{Q^2}{16{\pi }^2{\epsilon }_0^2{r}^4}4\pi r^2\mathrm{d}r=\frac{Q^2}{8\pi {\epsilon }_{0}R}.$$

La somme vaut $\frac{Q^2}{8\pi {\epsilon }_{0}R}\cdot \frac{6}{5}=\frac{3}{5}\frac{Q^2}{4\pi {\epsilon }_{0}R}$ : le même résultat. Les cinq sixièmes de l'énergie sont stockés hors du noyau.

• Avec $Q=Ze$ et $R=r_0{A}^{1/3}$ : $W=a_C\frac{Z^2}{A^{1/3}}$, $a_C=\frac{3}{5}\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0{r}_0}=\frac{0,6\times 8,99\times 10^9\times (1,602\times 10^{-19}{)}^2}{1,2\times 10^{-15}\times 1,602\times 10^{-13}}\approx 0.72\mathrm{M}\mathrm{eV}$.

$W$ croît comme $Z^2/A^{1/3}$, beaucoup plus vite que le nombre de nucléons. Pour l'uranium, il atteint plus de la moitié de l'énergie de liaison ($983/1800\approx 0,55$), soit $4.1\mathrm{M}\mathrm{eV}$ par nucléon : la répulsion coulombienne des protons y est presque aussi importante que la cohésion assurée par l'interaction forte, qui, elle, ne croît que comme $A$. C'est ce qui limite la taille des noyaux.

• Chaque fragment a $W^{\prime }=0,72\times \frac{46^2}{119^{1/3}}\approx 310\mathrm{M}\mathrm{eV}$ ; les deux, $619\mathrm{M}\mathrm{eV}$. L'énergie coulombienne diminue d'environ $364\mathrm{M}\mathrm{eV}$ : c'est la source de l'énergie de fission. Elle n'est pas libérée en totalité, parce que la scission augmente la surface totale des noyaux et donc l'énergie de surface liée à l'interaction forte (les nucléons de surface sont moins liés) ; le bilan, environ $200\mathrm{M}\mathrm{eV}$, reste du même ordre.
• L'énergie d'interaction de $Z$ charges ponctuelles est une somme sur les paires de protons distincts, au nombre de $\frac{Z(Z-1)}{2}$. Le modèle continu, lui, fait interagir toutes les portions de charge deux à deux, y compris deux portions d'un même proton : il revient à compter $\frac{Z^2}{2}$ paires. Ne garder que les paires distinctes remplace $Z^2$ par $Z(Z-1)$ : $1\%$ d'écart pour l'uranium ($91/92$), négligeable ; un facteur $2$ pour l'hélium ($2\times 1$ contre $2^2$), où le modèle continu n'a plus de sens avec deux protons seulement.