Équipotentielles et lignes de champ d'un dipôle

Électrostatique · niveau 2

Énoncé

À partir de $V = \frac{p cos θ}{4 π ε _{0} r ^{2}}$ , établir l'équation des surfaces équipotentielles, $r^{2} = K cos θ$ , et esquisser leur allure.
On admet que les lignes de champ sont les courbes $r = s sin^{2} θ$ ( $s$ constante). Vérifier qu'elles sont orthogonales aux équipotentielles.
Écrire un script Python qui trace la carte des lignes de champ et quelques équipotentielles d'un doublet $\pm q$ de petite longueur $d$ .

Corrigé

$V = V_{0}$ donne $r^{2} = K cos θ$ avec $K = \frac{p}{4 π ε _{0} V _{0}}$ : des surfaces fermées qui passent par le dipôle, dans le demi-espace $θ < π /2$ pour $V_{0} > 0$ , dans l'autre pour $V_{0} < 0$ ; le plan équatorial, plan d'antisymétrie, est l'équipotentielle $V = 0$ .
En coordonnées polaires, la pente d'une courbe se lit sur $\frac{d r}{r d θ}$ . Sur une équipotentielle, $2 r d r = - K sin θ d θ$ , soit $\frac{d r}{r d θ} = - \frac{K sin θ}{2 r ^{2}} = - \frac{tan θ}{2}$ ; sur une ligne de champ, $d r = 2 s sin θ cos θ d θ$ , soit $\frac{d r}{r d θ} = \frac{2}{tan θ}$ . Le produit vaut $- 1$ : les deux familles se coupent à angle droit.
On superpose les champs des deux charges sur une grille, puis on trace (unités : $\frac{q}{4 π ε _{0}} = 1$ ) :


import numpy as np, matplotlib.pyplot as plt
d = 0.1                          # longueur du doublet
x, z = np.meshgrid(np.linspace(-2, 2, 400),
                   np.linspace(-2, 2, 400))
def champ(q, z0):                # charge q placée en (0, z0)
    r3 = (x**2 + (z - z0)**2)**1.5
    return q*x/r3, q*(z - z0)/r3
(E1x, E1z), (E2x, E2z) = champ(1, d/2), champ(-1, -d/2)
V = 1/np.hypot(x, z - d/2) - 1/np.hypot(x, z + d/2)
plt.streamplot(x, z, E1x + E2x, E1z + E2z, density=1.2)
niveaux = [-0.4, -0.1, -0.03, 0.03, 0.1, 0.4]
plt.contour(x, z, V, levels=niveaux,
            colors='gray', linestyles='dashed')
plt.gca().set_aspect('equal'); plt.savefig('dipole.png')

Loin du doublet ( $r ≫ d$ ), la carte obtenue reproduit les familles $r^{2} = K cos θ$ et $r = s sin^{2} θ$ .