Molécule polaire dans un champ uniforme

Électrostatique · niveau 2

Énoncé

Une molécule de moment dipolaire $p$ et de moment d'inertie $J$ par rapport à un axe perpendiculaire à $p$ passant par son centre est placée dans un champ uniforme $E$ ; on note $α$ l'angle $(p, E)$ . On donne le moment des actions subies, $Γ = p \land E$ , et l'énergie potentielle $E_{p} = - p \cdot E$ . Prévoir qualitativement l'évolution de la molécule, puis étudier son mouvement autour de l'équilibre stable. Application à la molécule d'eau : $p = 6.2 \times 1 0^{- 30} Cm$ , $J \approx 1.0 \times 1 0^{- 47} kg m^{2}$ , $E = 1 0^{6} V / m$ . Est-ce ainsi qu'un four à micro-ondes chauffe l'eau ?

Corrigé

Qualitativement : en champ uniforme, la résultante est nulle ; le couple tend à aligner $p$ sur $E$ . $E_{p} = - pE cos α$ est minimale en $α = 0$ (équilibre stable) et maximale en $α = π$ (équilibre instable) : la molécule tourne vers $α = 0$ , et, sans frottement, oscille autour. Quantitativement, le théorème du moment cinétique autour de l'axe donne $J α ¨ = - pE sin α$ . Pour les petits angles, $α ¨ + \frac{pE}{J} α = 0$ : oscillations harmoniques de pulsation $ω = pE / J$ . Pour l'eau, $ω = 6, 2 \times 1 0^{- 30} \times 1 0^{6} /1 0^{- 47} \approx 7.9 \times 1 0^{11} rad / s$ , soit $f \approx 1.3 \times 1 0^{11} Hz$ . Le four à micro-ondes ( $2.45 G Hz$ ) n'excite pas cette oscillation : sa fréquence en est très éloignée, et dans l'eau liquide les molécules, liées entre elles, n'oscillent pas librement. Le champ oscillant force la réorientation des molécules, qui suit avec retard à cause des interactions avec leurs voisines ; ce frottement dissipe l'énergie du champ en chaleur.