Un champ dérive-t-il d'un potentiel ?

• Les deux champs n'ont pas de composante selon $z$ et ne dépendent pas de $z$ : seule la composante $\frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y}$ du rotationnel peut être non nulle. Pour ${\overrightarrow{E}}_1$, elle vaut $\frac{E_0}{a}-\frac{E_0}{a}=0$ ; pour ${\overrightarrow{E}}_2$, $-\frac{E_0}{a}-\frac{E_0}{a}=-\frac{2E_0}{a}$. Seul ${\overrightarrow{E}}_1$, de rotationnel nul, peut dériver d'un potentiel et être un champ électrostatique.
• On cherche $V$ tel que ${\overrightarrow{E}}_1=-\overrightarrow{\mathrm{grad}}V$ :

$$\frac{\partial V}{\partial x}=-\frac{E_0}{a}y⟹V=-\frac{E_0}{a}xy+\phi (y),$$

où $\phi (y)$ est une « constante » d'intégration à $y$ fixé. Alors $\frac{\partial V}{\partial y}=-\frac{E_0}{a}x+{\phi }^{\prime }(y)$ doit valoir $-\frac{E_0}{a}x$ : ${\phi }^{\prime }=0$, et $V(O)=0$ donne $\phi =0$ :

$$V(x,y)=-\frac{E_0}{a}xy.$$

Les équipotentielles sont les hyperboles $xy=\text{cste}$, d'asymptotes $Ox$ et $Oy$ ; les deux axes forment l'équipotentielle $V=0$. Orthogonalité : les normales aux courbes $xy=c$ et $x^2-y^2=c^{\prime }$ sont portées par les gradients $(y,x)$ et $(2x,-2y)$, dont le produit scalaire $2xy-2xy$ est nul. Divergence : $\mathrm{div}{\overrightarrow{E}}_1=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{E_{0}y}{a}\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{E_{0}x}{a}\right)=0$, en accord avec Maxwell–Gauss sans charge. C'est le champ qui règne près du centre de quatre fils parallèles portant alternativement $\pm \lambda$ : $O$ est un col du potentiel, où le champ est nul.

• Sur le cercle, $x=r\cos \theta$, $y=r\sin \theta$ et $\mathrm{d}\overrightarrow{\ell }=r\mathrm{d}\theta (-\sin \theta {\overrightarrow{u}}_x+\cos \theta {\overrightarrow{u}}_y)$ :

$${\overrightarrow{E}}_2\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\ell }=\frac{E_0}{a}(-r{\sin }^2\theta -r{\cos }^2\theta )r\mathrm{d}\theta =-\frac{E_0{r}^2}{a}\mathrm{d}\theta ,$$

d'où

$$\oint {\overrightarrow{E}}_2\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\ell }=-\frac{2\pi E_0{r}^2}{a}\ne 0.$$

(Le théorème de Stokes redonne ce résultat : $\overrightarrow{\mathrm{rot}}{\overrightarrow{E}}_2$, uniforme, fois l'aire $\pi r^2$.) Une circulation non nulle sur un contour fermé interdit tout potentiel : ${\overrightarrow{E}}_2$ n'est pas un champ électrostatique. Un tel champ, aux lignes circulaires, existe pourtant en régime variable : c'est le champ électrique induit dans un solénoïde dont le champ magnétique varie, pour lequel $\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{E}=-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}$.