Vitesse de libération électrostatique

L'extérieur de la boule équivaut à une charge ponctuelle $Q$ placée en son centre (théorème de Gauss) ; la conservation de l'énergie mécanique, avec $E_{\mathrm{p}}=qV$, donne $\frac{1}{2}m{v}_{\infty }^2=q(V(R)-V(\infty ))=\frac{qQ}{4\pi {\epsilon }_{0}R}$, d'où

$$v_{\infty }=\sqrt{\frac{qQ}{2\pi {\epsilon }_{0}mR}}.$$

Analogue exact de la vitesse de libération gravitationnelle, avec $qQ/(4\pi {\epsilon }_0)\leftrightarrow GmM$. Pour le proton : $V(R)=9.0\times 10^4\mathrm{V}$ et $v_{\infty }=\sqrt{2eV(R)/m_p}\approx 4.1\times 10^6\mathrm{m}/\mathrm{s}$, un peu plus de $1\%$ de la vitesse de la lumière : le traitement non relativiste convient.