Aimant permanent — exercice corrigé d'électromagnétisme (PC) (chapitre 3)

Aimant permanent

Magnétostatique · niveau 1 (application)

Énoncé

Le fer a une masse volumique $ρ = 7874 k g . m^{- 3}$ et une masse molaire $M_{Fe} = 55.85 g . m o l^{- 1}$ .

Calculer la densité d'atomes $n_{at}$ du fer. En supposant que chaque atome porte un moment $μ_{B} = 9.27 \times 1 0^{- 24} A . m^{2}$ , tous alignés, évaluer l'ordre de grandeur maximal du moment magnétique volumique $M_{m a x}$ d'un aimant, et la grandeur $μ_{0} M_{m a x}$ . Comparer au champ mesuré au contact d'un aimant au néodyme (environ $1.3 T$ ).
Le fer saturé a en réalité un moment volumique de $1.7 \times 1 0^{6} A . m^{- 1}$ : combien de magnétons de Bohr par atome ?
Quel est le moment magnétique d'un petit aimant de $1 c m^{3}$ aimanté au maximum ? Combien d'ampères-tours faudrait-il à une bobine plate de $1 c m^{2}$ pour avoir le même moment ?

Corrigé

1. Ordre de grandeur. $n_{at} = \frac{ρ}{M _{Fe}} N_{A} = \frac{7874}{55 , 85 \times 1 0 ^{- 3}} \times 6, 022 \times 1 0^{23} = 8.5 \times 1 0^{28} m^{- 3}$ , l'ordre de grandeur $1 0^{29} m^{- 3}$ de tous les solides. Tous les moments alignés : $M_{m a x} = n_{at} μ_{B} = 8, 5 \times 1 0^{28} \times 9, 27 \times 1 0^{- 24} = 7.9 \times 1 0^{5} A . m^{- 1}$ , soit de l'ordre de $1 0^{6} A . m^{- 1}$ , et $μ_{0} M_{m a x} = 0.99 T$ . Le champ au contact d'un aimant au néodyme, $1.3 T$ , est du même ordre : les meilleurs aimants sont proches de l'alignement complet, et un aimant ne peut guère dépasser le tesla.
2. Fer saturé. $\frac{1 , 7 \times 1 0 ^{6}}{7 , 9 \times 1 0 ^{5}} = 2, 2$ magnétons de Bohr par atome : l'ordre de grandeur est bien le magnéton.
3. Petit aimant. $m = M_{m a x} V = 7, 9 \times 1 0^{5} \times 1 0^{- 6} = 0.79 A . m^{2}$ , autant que la bobine plate de $100$ spires de rayon $5 c m$ parcourue par $1 A$ . Une bobine de section $1 c m^{2}$ devrait porter $N I = m / S = 7.9 \times 1 0^{3} A$ -tours : sous ce volume, l'aimant fait ce qu'aucun bobinage ne peut faire sans s'échauffer. C'est pourquoi les moteurs compacts et les haut-parleurs utilisent des aimants.