Contour mal choisi

Le carré. Avec $\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}{\overrightarrow{u}}_{\theta }$, sur le côté $x=c$ ($-c<y<c$), parcouru selon $+{\overrightarrow{u}}_y$, seule compte la composante $B_y=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi }\frac{x}{x^2+y^2}$ :

$${\int }_{-c}^c\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi }\frac{c\mathrm{d}y}{c^2+y^2}=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi }[\arctan \frac{y}{c}{]}_{-c}^c=\frac{{\mu }_{0}I}{4}.$$

Les quatre côtés donnent ${\mu }_{0}I$ : le théorème est vérifié. Mais sur le carré, $\overrightarrow{B}$ n'est ni tangent ni de norme constante : l'inconnue $B(r)$ reste sous une intégrale où $r$ et l'angle varient, et une seule équation ne détermine pas une fonction.
Le cercle extérieur. Il n'enlace aucun courant : la circulation est nulle, ce qui est vrai, alors que le champ ne l'est pas sur ce cercle ; le théorème n'apprend rien.
Conclusion. Le théorème est toujours vrai ; il ne donne le champ que si l'on a choisi, après l'étude des symétries, un contour formé de portions où $\overrightarrow{B}$ est tangent et de norme constante, ou perpendiculaire : ici, un cercle centré sur le fil, qui est une ligne de champ.