Du tore au solénoïde : ce que le programme fait admettre

La stratégie. Le tore est une distribution fermée : le théorème d'Ampère y donne le champ partout, sans hypothèse à l'infini. Le solénoïde infini s'en déduit par passage à la limite ; traité directement, Ampère n'y donne que des différences de champ, d'où l'hypothèse que le programme fait admettre.

1) Direction. Un plan méridien passant par $M$ échange les spires situées de part et d'autre, et chaque courant, contenu dans son plan méridien, a pour image un courant de mêmes composantes radiale et axiale : la distribution est invariante, c'est un plan de symétrie, et $\overrightarrow{B}(M)$ lui est perpendiculaire : $\overrightarrow{B}=B{\overrightarrow{u}}_{\theta }$. L'invariance par rotation autour de $Oz$ (spires régulièrement réparties, modélisées continûment) donne $B=B(r,z)$.

2) Le champ du tore. Le contour est le cercle d'axe $Oz$, de rayon $r$, à la hauteur $z$, orienté selon ${\overrightarrow{u}}_{\theta }$ : $\oint \overrightarrow{B}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\ell }=2\pi rB(r,z)$. On compte les courants qui traversent le disque qu'il borde.

• $a<r<b$ et $|z|<h/2$ : le disque est traversé une fois par le brin intérieur (en $r=a$) de chacune des $N$ spires : $I_{\text{enl}}=NI$, et $B=\frac{{\mu }_{0}NI}{2\pi r}$.
• $r<a$, ou $|z|>h/2$ : aucun courant ne traverse le disque, $B=0$.
• $r>b$ : chaque spire traverse le disque deux fois, en sens opposés (brins intérieur et extérieur) : $I_{\text{enl}}=NI-NI=0$, $B=0$. Rien n'a été admis : le champ est nul hors du tore par le seul théorème d'Ampère, parce que l'enroulement est fermé sur lui-même. Le champ n'est pas uniforme dans la section, il décroît en $1/r$ : $B(a)=\frac{2\times 10^{-7}\times 1000}{0,05}=4,0\mathrm{mT}$ et $B(b)=2,86\mathrm{mT}$.

3) Flux et inductance. Une spire borde le rectangle $a<r<b$, $|z|<h/2$ d'un plan méridien, traversé normalement par le champ ; une bande de largeur $\mathrm{d}r$ a l'aire $h\mathrm{d}r$ : $${\Phi }_1={\int }_a^b\frac{{\mu }_{0}NI}{2\pi r}h\mathrm{d}r=\frac{{\mu }_{0}NIh}{2\pi }\ln \frac{b}{a},\Phi =N{\Phi }_1=LI,L=\frac{{\mu }_0{N}^{2}h}{2\pi }\ln \frac{b}{a}.$$ Numériquement $L=2\times 10^{-7}\times 10^6\times 0,02\times \ln 1,4=1,346\mathrm{mH}$. L'approximation « solénoïde », qui suppose le champ uniforme et égal à sa valeur en $r_m=6\mathrm{cm}$, donne ${\mu }_0{N}^{2}h(b-a)/(2\pi r_m)=1,333\mathrm{mH}$, soit $0,93\%$ de moins : elle remplace $\ln (b/a)=0,3365$ par $(b-a)/r_m=0,3333$. L'écart relatif vaut $(b-a{)}^2/12r_m^2$ au premier ordre, petit dès que la section est petite devant le rayon.

4) Du tore au solénoïde. Pour $a<r<b$, $B=\frac{{\mu }_{0}NI}{2\pi r}={\mu }_{0}nI\frac{a}{r}$. Quand $a\to \infty$ à $b-a$ fixé, $a/r\to 1$ dans toute la section : $B\to {\mu }_{0}nI$, uniforme, et le champ reste exactement nul à l'extérieur. Un tore de très grand rayon est, localement, un solénoïde infini : la nullité du champ extérieur, que le programme fait admettre pour le solénoïde, est ici une conséquence du théorème d'Ampère.

5) Le solénoïde infini, sans rien affirmer trop tôt. $B_{\theta }=0$ : un plan contenant l'axe et passant par $M$ est perpendiculaire aux courants orthoradiaux, que la symétrie renverse : plan d'antisymétrie, $\overrightarrow{B}$ y est contenu. $B_r=0$, par une symétrie : le plan passant par $M$ et perpendiculaire à l'axe est parallèle aux courants orthoradiaux et laisse le solénoïde infini invariant : plan de symétrie, $\overrightarrow{B}$ lui est perpendiculaire. $B_r=0$, par le flux : par les invariances, $B_r$ et $B_z$ ne dépendent que de $r$ ; sur un cylindre fermé coaxial de rayon $r$ et de longueur $\ell$, les flux à travers les deux bases se compensent ($B_z$ est le même sur les deux), et le flux latéral $2\pi r\ell B_r(r)$ doit être nul. Donc $\overrightarrow{B}=B(r){\overrightarrow{u}}_z$ : axial, mais pas encore uniforme. Rectangles d'Ampère (deux côtés de longueur $L$ parallèles à l'axe, aux distances $r_1$ et $r_2$, deux côtés radiaux de circulation nulle) :

• entièrement à l'intérieur, il n'enlace aucun courant : $L[B(r_1)-B(r_2)]=0$, le champ intérieur est uniforme ;
• entièrement à l'extérieur, de même : le champ extérieur est uniforme, $B_{\text{ext}}=\text{cte}$ ;
• à cheval sur l'enroulement, il enlace $nL$ spires : $L(B_{\text{int}}-B_{\text{ext}})={\mu }_{0}nLI$. Ampère ne fixe que la différence $B_{\text{int}}-B_{\text{ext}}={\mu }_{0}nI$. Pour conclure, il faut une condition aux limites : $B_{\text{ext}}\to 0$ loin du solénoïde, c'est ce que le programme fait admettre ; la question 4 en donne la justification physique. Alors ${\overrightarrow{B}}_{\text{ext}}=\overrightarrow{0}$ et ${\overrightarrow{B}}_{\text{int}}={\mu }_{0}nI{\overrightarrow{u}}_z$.

6) Le fil hélicoïdal. En plus de ses tours, le fil progresse de $1/n$ le long de l'axe à chaque tour : il traverse une fois tout plan perpendiculaire à l'axe. Le bobinage porte donc, en plus de la densité orthoradiale, une intensité $I$ dirigée le long de l'axe, comme un fil rectiligne. Hors du solénoïde, celle-ci crée le champ orthoradial ${\mu }_{0}I/2\pi r$, et $$\frac{{\mu }_{0}I/2\pi r}{{\mu }_{0}nI}=\frac{1}{2\pi rn}=\frac{1}{2\pi \times 0,02\times 1000}=8\times 10^{-3},$$ moins de $1\%$ du champ intérieur. On le supprime en ramenant le fil le long de la bobine, ou en bobinant une seconde couche en sens inverse. Le tore réel a le même défaut : sa progression d'un tour complet autour de l'axe équivaut à une spire de courant $I$.

Ce que l'exercice installe. Le théorème d'Ampère donne la circulation, donc des différences de champ ; il ne conclut seul que pour une distribution fermée (le tore) ou avec une condition à l'infini (le solénoïde). L'ordre des arguments : symétries et flux conservatif pour la direction, rectangles intérieur et extérieur pour l'uniformité, rectangle à cheval pour la valeur. Et une inductance qui se calcule par un flux à travers une surface où le champ varie.