Fil épais : champ et équations locales

Symétries. Tout plan contenant l'axe et passant par $M$ contient les courants : plan de symétrie, $\overrightarrow{B}$ lui est perpendiculaire, $\overrightarrow{B}=B{\overrightarrow{u}}_{\theta }$. Invariances. Translation selon $Oz$ et rotation autour de $Oz$ : $B=B(r)$. Contour. Le cercle d'axe $Oz$ et de rayon $r$, orienté selon ${\overrightarrow{u}}_{\theta }$, sur lequel $\overrightarrow{B}$ est tangent et de norme constante : $2\pi rB(r)={\mu }_0{I}_{\text{enl}}(r)$, avec $I_{\text{enl}}=I{r}^2/a^2$ pour $r<a$ (la densité $j=I/\pi a^2$ traverse le disque d'aire $\pi r^2$) et $I_{\text{enl}}=I$ pour $r>a$ :

$$\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_{0}Ir}{2\pi a^2}{\overrightarrow{u}}_{\theta }(r<a),\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}{\overrightarrow{u}}_{\theta }(r>a).$$

Les deux expressions valent ${\mu }_{0}I/2\pi a$ en $r=a$ : le champ est continu, comme toujours pour un courant réparti en volume, et maximal à la surface du fil.
Équations locales. $B$ ne dépend pas de $\theta$ : $\mathrm{div}\overrightarrow{B}=0$ partout. Dans le fil, $rB=\frac{{\mu }_{0}I{r}^2}{2\pi a^2}$, d'où

$$\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{B}=\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(\frac{{\mu }_{0}I{r}^2}{2\pi a^2}\right){\overrightarrow{u}}_z=\frac{{\mu }_{0}I}{\pi a^2}{\overrightarrow{u}}_z={\mu }_0\overrightarrow{j}.$$

Hors du fil, $rB={\mu }_{0}I/2\pi$ est constant : $\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{B}=\overrightarrow{0}={\mu }_0\overrightarrow{j}$, puisque $\overrightarrow{j}=\overrightarrow{0}$. Les équations locales sont vérifiées partout ; le rotationnel saute en $r=a$ comme $\overrightarrow{j}$, alors que $\overrightarrow{B}$ y est continu. Le champ ${\mu }_{0}I/2\pi r$ du fil, qui « tourne » autour de l'axe, a pourtant un rotationnel nul hors du fil : le rotationnel mesure la source locale, pas l'allure globale des lignes.
Valeurs. Pour $a=1.25mm$ et $I=16A$, $j=\frac{16}{\pi \times (1,25\times 10^{-3}{)}^2}=3.26\times 10^{6}A.m^{-2}$ et $B_{\max }=\frac{2\times 10^{-7}\times 16}{1,25\times 10^{-3}}=2.56mT$. Hors du fil, le champ est celui d'un fil filiforme : le rayon n'intervient pas.