Inductance et énergie d'une bobine longue

Magnétostatique · niveau 2

Énoncé

Une bobine de travaux pratiques comporte $N = 1000$ spires jointives sur une longueur $ℓ = 40 c m$ , de rayon $R = 2.5 c m$ ; elle est parcourue par $I = 2.0 A$ . On la modélise par un solénoïde long.

Établir son inductance propre et la calculer. Que devient-elle si l'on bobine $2000$ spires sur la même longueur ?
Établir l'énergie magnétique qu'elle stocke, de deux façons : par $\frac{1}{2} L I^{2}$ , puis par la densité d'énergie $u_{m} = B^{2} /2 μ_{0}$ . Calculer $B$ , $u_{m}$ et $W_{m}$ .
Le modèle est-il justifié ? Une mesure donne une inductance un peu plus faible que la valeur calculée : pourquoi ?

Corrigé

1. Inductance. Le champ intérieur, uniforme, vaut $B = μ_{0} n I$ avec $n = N / ℓ = 2500 m^{- 1}$ . Chaque spire, orientée par le courant, reçoit le flux $B S$ , avec $S = π R^{2} = 1.96 \times 1 0^{- 3} m^{2}$ ; les $N$ spires reçoivent $Φ_{p} = N B S = μ_{0} \frac{N ^{2} S}{ℓ} I$ , d'où

$L = μ_{0} \frac{N ^{2} S}{ℓ} = \frac{4 π \times 1 0 ^{- 7} \times 1 0 ^{6} \times 1 , 96 \times 1 0 ^{- 3}}{0 , 40} = 6.2 m H .$

Avec $2000$ spires sur la même longueur, $n$ double, donc le champ et le flux par spire doublent, et le nombre de spires double aussi : $L$ est multipliée par $4$ , $25 m H$ .
2. Énergie. Par l'inductance, $W_{m} = \frac{1}{2} L I^{2} = \frac{1}{2} \times 6, 17 \times 1 0^{- 3} \times 4 = 12.3 m J$ . Par la densité d'énergie : $B = μ_{0} n I = 4 π \times 1 0^{- 7} \times 2500 \times 2 = 6.28 m T$ , $u_{m} = \frac{B ^{2}}{2 μ _{0}} = 15.7 J . m^{- 3}$ , et le champ, nul dehors, occupe le volume intérieur $V = S ℓ = 7.85 \times 1 0^{- 4} m^{3}$ : $W_{m} = u_{m} V = 12.3 m J$ . Les deux calculs coïncident, et c'est général pour le solénoïde long : $\frac{1}{2} μ_{0} n^{2} S ℓ I^{2} = \frac{( μ _{0} n I ) ^{2}}{2 μ _{0}} S ℓ$ .
3. Validité. $ℓ / R = 16$ : la bobine est longue, et le modèle est bon à quelques pour cent. Aux extrémités, le champ sur l'axe ne vaut que la moitié de $μ_{0} n I$ (comme le montrent les travaux dirigés), et les lignes de champ s'évasent : les spires des bouts reçoivent moins de flux que $B S$ , et l'inductance réelle est un peu plus faible que $μ_{0} N^{2} S / ℓ$ . L'écart croît quand la bobine se raccourcit.