La cavité cylindrique : un champ uniforme par superposition

La stratégie. La distribution n'a plus la symétrie de révolution, mais c'est la somme de deux distributions qui l'ont : le cylindre plein parcouru par $\overrightarrow{j}$, et le cylindre de la cavité parcouru par $-\overrightarrow{j}$, qui annule le courant là où il n'y a pas de métal. Chacune se traite par Ampère ; les champs s'ajoutent.

1) Ce qu'Ampère ne peut plus faire. Sur un cercle centré sur $O$, le champ n'est plus de norme constante ni tangent : le théorème donne la circulation, pas le champ. Il reste l'invariance par translation selon $z$ ($\overrightarrow{B}$ ne dépend pas de $z$), les plans perpendiculaires à $Oz$, plans d'antisymétrie ($B_z=0$), et un seul plan de symétrie, celui qui contient $Oz$ et $O^{\prime }$ : en ses points, $\overrightarrow{B}$ lui est perpendiculaire. C'est tout ce que donnent les symétries.

2) Le cylindre plein, sous forme vectorielle. Ses symétries sont celles du fil : $\overrightarrow{B}=B(r){\overrightarrow{u}}_{\theta }$. Le cercle d'axe $Oz$ et de rayon $r<R$ enlace $j\pi r^2$ : $2\pi rB={\mu }_{0}j\pi r^2$, d'où $B={\mu }_{0}jr/2$. Or ${\overrightarrow{u}}_z\wedge r{\overrightarrow{u}}_r=r{\overrightarrow{u}}_{\theta }$ et $\overrightarrow{OM}=r{\overrightarrow{u}}_r$ : $$\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{2}\overrightarrow{j}\wedge \overrightarrow{OM}(M\text{dans le cylindre}).$$ Cette écriture ne fait plus référence à aucun repère attaché au cylindre : elle se superpose.

3) Le champ dans la cavité. En un point $M$ de la cavité, $M$ est à l'intérieur des deux cylindres : $$\overrightarrow{B}(M)=\frac{{\mu }_0}{2}\overrightarrow{j}\wedge \overrightarrow{OM}+\frac{{\mu }_0}{2}(-\overrightarrow{j})\wedge \overrightarrow{O^{\prime }M}=\frac{{\mu }_0}{2}\overrightarrow{j}\wedge (\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{O^{\prime }M})=\frac{{\mu }_0}{2}\overrightarrow{j}\wedge \overrightarrow{d}.$$ Le champ ne dépend pas de $M$ : il est uniforme dans toute la cavité, de norme ${\mu }_{0}jd/2$, perpendiculaire à l'axe et au décalage $\overrightarrow{d}$. Avec $\overrightarrow{d}=d{\overrightarrow{u}}_x$, $\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_{0}jd}{2}{\overrightarrow{u}}_y$. C'est compatible avec la question 1, qui ne l'imposait que dans le plan contenant $Oz$ et $O^{\prime }$ : la superposition en dit beaucoup plus que les symétries.

4) Valeurs. $j=\frac{I}{\pi (R^2-a^2)}=\frac{100}{\pi (10^{-4}-1,6\times 10^{-5})}=3,79\times 10^5\mathrm{A}{\mathrm{m}}^{-2}=0,379\mathrm{A}\mathrm{m}{\mathrm{m}}^{-2}$. Dans la cavité : $$B=\frac{{\mu }_{0}jd}{2}=\frac{4\pi \times 10^{-7}\times 3,79\times 10^5\times 5\times 10^{-3}}{2}=1,19\mathrm{mT}.$$ À comparer au champ à la surface d'un fil plein de même intensité, ${\mu }_{0}I/2\pi R=2,0\mathrm{mT}$. Au point $O$, le cylindre plein ne donne rien (on est sur son axe) ; le cylindre de la cavité, parcouru par $-j\pi a^2$, est vu de l'extérieur (car $d>a$) et agit comme un fil : $$B(O)=\frac{{\mu }_{0}j\pi a^2}{2\pi d}=\frac{{\mu }_{0}j{a}^2}{2d}=\frac{4\pi \times 10^{-7}\times 3,79\times 10^5\times 1,6\times 10^{-5}}{2\times 5\times 10^{-3}}=0,76\mathrm{mT},$$ dirigé, lui aussi, selon $+{\overrightarrow{u}}_y$ (règle de la main droite pour un courant $-{\overrightarrow{u}}_z$ situé en $O^{\prime }$).

5) Cas limites. Pour $d=0$, le conducteur est un tube coaxial et $\overrightarrow{B}=\overrightarrow{0}$ dans le creux : c'est bien ce que donne Ampère directement, la symétrie de révolution étant retrouvée, puisqu'un cercle dans le creux n'enlace aucun courant. Pour $a\to 0$, le champ uniforme $\frac{{\mu }_0}{2}\overrightarrow{j}\wedge \overrightarrow{d}$ est exactement le champ du cylindre plein au point $O^{\prime }$ : une cavité très fine « lit » le champ qui régnait à sa place sans le modifier.

Ce que l'exercice installe. La superposition de deux distributions symétriques, dont l'une porte un courant négatif pour creuser l'autre. La forme vectorielle $\frac{{\mu }_0}{2}\overrightarrow{j}\wedge \overrightarrow{OM}$ du champ dans un fil épais, qui se superpose sans repère. Le résultat : un champ uniforme, perpendiculaire au décalage, dans une région sans courant, là où les symétries seules n'imposaient presque rien.