Moment d'une spire, couple sur un cadre

Une bobine plate de $N = 100$ spires circulaires de rayon $R = 5 c m$ est parcourue par $I = 1 A$ . Exprimer et calculer son moment magnétique, en précisant son orientation. Quel couple maximal subit-elle dans la composante horizontale du champ terrestre, $B_{h} = 20 μ T$ ?
Un cadre rectangulaire de $N = 100$ spires, de côtés $a = 4 c m$ (verticaux) et $b = 3 c m$ (horizontaux), parcouru par $I = 0.5 A$ , peut tourner autour d'un axe vertical $Δ$ passant par son centre. Il est plongé dans un champ uniforme horizontal $B = B u_{x}$ , $B = 0.1 T$ ; sa normale $n$ fait l'angle $α$ avec $B$ . À l'aide des forces de Laplace, montrer que la résultante est nulle et que le moment par rapport à $Δ$ coïncide avec l'expression $Γ = m \land B$ . Positions d'équilibre ? Couple maximal ?

1. Bobine plate. Chaque spire a le moment $I π R^{2} n$ , où $n$ est la normale orientée par le sens du courant (règle de la main droite) ; les $N$ spires s'ajoutent : $m = N I π R^{2} n$ , soit $m = 100 \times 1 \times π \times 0, 0 5^{2} = 0.785 A . m^{2}$ . Le couple $m \land B$ a pour norme maximale $m B_{h} = 1.6 \times 1 0^{- 5} N . m$ , quand $m$ est perpendiculaire au champ : assez pour faire tourner une aiguille aimantée, pas une bobine sur son support.
2. Forces de Laplace. Vu d'en haut (figure), le cadre se réduit au segment de ses côtés horizontaux, et ses côtés verticaux à deux points $P_{1}$ et $P_{2}$ , à la distance $b /2$ de l'axe. Avec $n$ orientée par le courant, celui-ci monte dans le côté $P_{1}$ et descend dans le côté $P_{2}$ . Les forces de Laplace sur ces côtés valent $\pm N I a u_{z} \land B u_{x} = \pm N I a B u_{y}$ : égales et opposées. Sur les côtés horizontaux, les forces sont verticales, égales et opposées, et parallèles à $Δ$ : leur moment par rapport à $Δ$ est nul. La résultante est nulle : un champ uniforme ne translate pas le cadre.
Moment. Les deux forces $\pm N I a B u_{y}$ forment un couple ; leur bras de levier est la projection de $P_{1} P_{2}$ (longueur $b$ ) sur $u_{x}$ , soit $b sin α$ , puisque $P_{1} P_{2}$ est perpendiculaire à $n$ . Le moment vaut $N I a B b sin α = m B sin α$ avec $m = N I ab$ , et il tend à ramener $n$ vers $B$ : c'est exactement $Γ = m \land B$ avec $m = N I ab n$ . L'expression fournie du couple est retrouvée sur cet exemple.
Équilibres. $Γ = 0$ pour $α = 0$ ( $m$ parallèle à $B$ et de même sens : équilibre stable, $E_{p} = - m B$ minimale) et pour $α = π$ (instable). Le couple maximal, pour $α = π /2$ , vaut $N I ab B = 100 \times 0, 5 \times 12 \times 1 0^{- 4} \times 0, 1 = 6.0 \times 1 0^{- 3} N . m$ : c'est le principe du moteur à courant continu et du galvanomètre à cadre mobile.

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