Moment magnétique d'un atome, rapport gyromagnétique, magnéton de Bohr

Dans le modèle de Bohr de l'atome d'hydrogène, l'électron décrit une orbite circulaire de rayon $a_{0} = 53 p m$ avec une période $T = 1.52 \times 1 0^{- 16} s$ . Données : $e = 1.602 \times 1 0^{- 19} C$ , $m_{e} = 9.109 \times 1 0^{- 31} k g$ , $ℏ = 1.055 \times 1 0^{- 34} J . s$ .

Calculer l'intensité du courant équivalent, puis le moment magnétique de l'atome. Préciser son orientation par rapport au sens de parcours de l'électron.
Calculer le moment cinétique orbital $L$ de l'électron et le comparer à $ℏ$ . Relier $m$ à $L$ et calculer le rapport gyromagnétique.
Par analyse dimensionnelle, construire à partir de $e$ , $m_{e}$ et $ℏ$ la seule grandeur homogène à un moment magnétique. Comparer au résultat de la première question.

1. Courant et moment. L'électron fait passer la charge $e$ en un point de l'orbite à chaque période : $∣ I ∣ = \frac{e}{T} = \frac{1 , 602 \times 1 0 ^{- 19}}{1 , 52 \times 1 0 ^{- 16}} = 1.05 m A$ , un courant macroscopique. L'orbite est minuscule : $m = ∣ I ∣ π a_{0}^{2} = 1, 05 \times 1 0^{- 3} \times π \times (53 \times 1 0^{- 12})^{2} = 9.3 \times 1 0^{- 24} A . m^{2}$ . La charge étant négative, le courant circule à l'opposé du mouvement de l'électron, et $m$ est orienté à l'opposé de la normale associée au sens de parcours de l'électron (règle de la main droite).
2. Moment cinétique. La vitesse vaut $v = \frac{2 π a _{0}}{T} = 2.19 \times 1 0^{6} m . s^{- 1}$ et $L = m_{e} v a_{0} = 9, 109 \times 1 0^{- 31} \times 2, 19 \times 1 0^{6} \times 53 \times 1 0^{- 12} = 1.06 \times 1 0^{- 34} J . s$ : c'est $ℏ$ à $0, 3 %$ près, la condition de quantification du modèle de Bohr. $L$ est orienté par le sens de parcours de l'électron, $m$ en sens inverse, et

$\frac{m}{L} = \frac{\frac{1}{2} e v a _{0}}{m _{e} v a _{0}} = \frac{e}{2 m _{e}} ⟹ m = - \frac{e}{2 m _{e}} L, \frac{e}{2 m _{e}} = 8.79 \times 1 0^{10} C . k g^{- 1} .$

Le rapport ne dépend ni du rayon ni de la vitesse : toute orbite circulaire de l'électron a le même rapport gyromagnétique.
3. Analyse dimensionnelle. On cherche $e^{α} m_{e}^{β} ℏ^{γ}$ homogène à $A . m^{2}$ , avec $[e] = A . s$ , $[m_{e}] = k g$ , $[ℏ] = k g . m^{2} . s^{- 1}$ : l'ampère donne $α = 1$ , le mètre $γ = 1$ , le kilogramme $β = - 1$ , et la seconde est alors équilibrée. La grandeur est $\frac{e ℏ}{m _{e}} = 1.85 \times 1 0^{- 23} A . m^{2}$ , à un facteur numérique près. Le résultat de la question 2 fixe ce facteur : $m = \frac{e}{2 m _{e}} L$ avec $L = ℏ$ donne le magnéton de Bohr $μ_{B} = \frac{e ℏ}{2 m _{e}} = 9.27 \times 1 0^{- 24} A . m^{2}$ , à $0, 3 %$ du moment calculé à la question 1. C'est l'ordre de grandeur de tous les moments magnétiques atomiques.

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