Effet Joule et vecteur de Poynting dans un fil

À la surface du fil ($r=a$), le champ électrique interne est axial : $E=j/\gamma =I/(\gamma \pi a^2)$, dirigé selon ${\overrightarrow{e}}_z$ (sens du courant). Le champ magnétique, par le théorème d'Ampère, est orthoradial : $B={\mu }_{0}I/(2\pi a)$ selon ${\overrightarrow{u}}_{\theta }$. Le vecteur de Poynting vaut

$$\overrightarrow{\Pi }=\frac{\overrightarrow{E}\wedge \overrightarrow{B}}{{\mu }_0}=\frac{1}{{\mu }_0}\frac{I}{\gamma \pi a^2}\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi a}({\overrightarrow{e}}_z\wedge {\overrightarrow{u}}_{\theta })=-\frac{I^2}{2{\pi }^2\gamma a^3}{\overrightarrow{u}}_r,$$

car ${\overrightarrow{e}}_z\wedge {\overrightarrow{u}}_{\theta }=-{\overrightarrow{u}}_r$ : le vecteur de Poynting est entrant.

Le flux entrant à travers la surface latérale $2\pi a\ell$ est

$$P=\Vert \overrightarrow{\Pi }\Vert \times 2\pi a\ell =\frac{I^2}{2{\pi }^2\gamma a^3}2\pi a\ell =\frac{I^2\ell }{\gamma \pi a^2}=R{I}^2,$$

avec $R=\ell /(\gamma \pi a^2)$. On retrouve exactement la puissance Joule dissipée : l'énergie dissipée dans le fil pénètre par sa surface latérale, transportée par le champ électromagnétique. Valeurs : $a\approx 0.69\mathrm{mm}$, $E\approx 0.11\mathrm{V}/\mathrm{m}$, $B(a)\approx 2.9\mathrm{mT}$, $\Pi (a)\approx 2.6\times 10^2\mathrm{W}/\square \mathrm{m}$, et il entre $1.1\mathrm{W}$ par mètre de fil, égal à $R{I}^2$ par mètre ($11\mathrm{m}\Omega /\mathrm{m}\times 100{\mathrm{A}}^2$). Le problème du TD (câble coaxial) prolonge ce calcul.