Que mesure un voltmètre ? Le champ induit n'a pas de potentiel

La stratégie. Tout repose sur Maxwell-Faraday intégrale : la circulation de $\overrightarrow{E}$ sur un contour fermé vaut $\pm e$ s'il enlace le solénoïde, $0$ sinon (le champ magnétique est nul au-dehors). Un voltmètre mesure une circulation le long d'un chemin : il suffit de voir quel contour fermé ses fils forment avec le circuit.

1) Le courant. Sur la boucle, $\oint \overrightarrow{E}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\ell }=e$. Le champ est nul dans les fils, de résistance négligeable ; dans chaque résistance parcourue dans le sens du courant, la circulation vaut $RI$. Donc $e=(R_1+R_2)I$ et $I=1,00\mathrm{mA}$, dans le sens trigonométrique : de $A$ vers $D$ par $R_1$, de $D$ vers $A$ par $R_2$. Le champ est concentré dans les résistances : le champ induit par le solénoïde seul existerait partout, mais des charges s'accumulent à la surface des conducteurs et l'annulent dans les fils.

2) Deux chemins, deux circulations. $${\int }_{A\to D,\text{par }{R}_1}\overrightarrow{E}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\ell }=+R_{1}I=+0,10\mathrm{V},{\int }_{A\to D,\text{par }{R}_2}\overrightarrow{E}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\ell }=-R_{2}I=-0,90\mathrm{V}.$$ Leur différence, $1,00\mathrm{V}=e$, est la circulation sur la boucle, qui enlace le flux. En électrostatique, la circulation de $A$ à $D$ ne dépend pas du chemin et vaut $V_A-V_D$ ; ici elle en dépend : « la tension $U_{AD}$ » n'est pas définie tant qu'on ne dit pas par où l'on passe.

3) Les deux lectures. Le circuit ${\Gamma }_1$ (voltmètre $V_1$, ses fils, branche de $R_1$) n'enlace pas le solénoïde : ${\oint }_{{\Gamma }_1}\overrightarrow{E}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\ell }=0$, et la circulation à travers $V_1$ égale celle par $R_1$. Le champ étant nul dans ses fils, toute cette circulation se fait dans l'appareil : $V_1$ indique $+0,10\mathrm{V}$. De même, ${\Gamma }_2$ n'enlace pas le solénoïde, et $V_2$ indique $-0,90\mathrm{V}$. Deux voltmètres idéaux, branchés aux mêmes points, indiquent $0,10\mathrm{V}$ et $-0,90\mathrm{V}$, et aucun n'est déréglé.

4) La lecture dépend des fils. Si un fil de $V_1$ fait le tour du solénoïde, ${\Gamma }_1$ enlace le flux et sa circulation vaut $\pm e$ : $V_1$ indique $0,10-1,00=-0,90\mathrm{V}$ ou $0,10+1,00=1,10\mathrm{V}$ selon le sens du tour. Un voltmètre ne mesure pas une propriété des points $A$ et $D$, mais la circulation le long de ses propres fils. La maille des deux voltmètres enlace le solénoïde : $V_1-V_2=1,00\mathrm{V}\ne 0$. La loi des mailles écrite avec des tensions est en défaut pour une maille qui enlace un flux variable ; elle redevient juste si l'on y fait figurer la force électromotrice induite, comme en électrocinétique pour une bobine. C'est l'expérience de Romer (1982), popularisée par Walter Lewin.

5) Rotationnel nul, et pourtant pas de potentiel. À l'extérieur, $\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}=\overrightarrow{0}$, donc $\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{E}=\overrightarrow{0}$ en tout point. Mais un contour qui fait le tour du solénoïde ne peut être réduit à un point sans le traverser, et sa circulation vaut $e\ne 0$ : un potentiel devrait reprendre sa valeur après un tour, il n'en existe donc pas. C'est la situation du champ magnétique autour d'un fil (rotationnel nul, circulation ${\mu }_{0}I$). Cas limite statique : si $\Phi$ est constant, $e=0$, $I=0$, les deux voltmètres indiquent $0$ et la circulation ne dépend plus du chemin. En pratique, on mesure un circuit inductif avec des fils torsadés, qui n'enlacent aucun flux.

Ce que l'exercice installe. En régime variable, $\overrightarrow{E}$ n'est plus à circulation conservative : la circulation entre deux points dépend du chemin dès que les chemins enlacent un flux variable, et un voltmètre mesure la circulation le long de ses fils. Le réflexe : avant d'écrire une tension, dessiner le contour fermé et se demander s'il enlace un flux.