Vecteur de Poynting d'un solénoïde — exercice corrigé d'électromagnétisme (PC) (chapitre 4)

Vecteur de Poynting d'un solénoïde

Équations de Maxwell · niveau 2

Énoncé

Un solénoïde très long, d'axe $O z$ , de rayon $a$ , comporte $n$ spires par unité de longueur parcourues par un courant $i (t)$ croissant. On admet qu'à chaque instant $B = μ_{0} ni (t) u_{z}$ à l'intérieur et $0$ à l'extérieur.

Par la forme intégrale de Maxwell--Faraday, déterminer le champ électrique $E = E_{θ} (r, t) u_{θ}$ à l'intérieur.
Déterminer le sens du vecteur de Poynting au voisinage de la surface latérale. Calculer son flux entrant par unité de longueur et l'interpréter.
Valeurs : $n = 1000 / m$ , $a = 2.0 cm$ , $i = 1.0 A$ , $\frac{d i}{d t} = 100 A / s$ .

Corrigé

Sur un cercle de rayon $r < a$ orienté par $u_{z}$ : $2 π r E_{θ} = - \frac{d}{d t} (π r^{2} μ_{0} ni)$ , d'où $E_{θ} = - \frac{μ _{0} n r}{2} \frac{d i}{d t} < 0$ .
En $r = a$ , avec $u_{θ} \land u_{z} = u_{r}$ : $Π = \frac{E _{θ} B}{μ _{0}} u_{r} = - \frac{μ _{0} n ^{2} a}{2} i \frac{d i}{d t} u_{r}$ , entrant. Son flux entrant par unité de longueur vaut

$\frac{μ _{0} n ^{2} a}{2} i \frac{d i}{d t} \times 2 π a = \frac{d}{d t} (\frac{( μ _{0} ni ) ^{2}}{2 μ _{0}} π a^{2}),$

la variation de l'énergie magnétique stockée par unité de longueur : l'énergie magnétique entre par la surface latérale. C'est la situation duale du condensateur en charge du TD, où l'énergie électrique entre par la tranche.

$B = μ_{0} ni \approx 1.26 mT$ , $∣ E_{θ} (a)∣ \approx 1.26 mV / m$ , $Π \approx 1.26 W / □ m$ , et le flux entrant vaut $\approx 0.16 W / m$ , égal à $\frac{d}{d t} (\frac{B ^{2}}{2 μ _{0}} π a^{2})$ .