électromagnétisme (PSI) · Chapitre 2 · Exercice de TD

Câble coaxial : capacité linéique, énergie localisée et rayon optimal $R_{2} / R_{1} = e$

Le condensateur · A. Influence électrostatique et capacité · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Un câble coaxial de longueur $ℓ$ est formé d'un conducteur central de rayon $R_{1}$ et d'une gaine conductrice coaxiale de rayon intérieur $R_{2}$ , avec $ℓ ≫ R_{2}$ . Le conducteur central porte la charge $+ λ$ par unité de longueur, la gaine la charge $- λ$ ; on ne cherche pas comment ces charges se répartissent dans chaque conducteur, et l'on admet seulement que la distribution est invariante par rotation autour de l'axe et par translation le long de celui-ci. L'espace entre les conducteurs est d'abord vide.

1) Étudier les invariances et les symétries, puis déterminer par le théorème de Gauss le champ entre les conducteurs ( $R_{1} < r < R_{2}$ ) et à l'extérieur du câble.

2) Exprimer la tension $U = V (R_{1}) - V (R_{2})$ , puis la capacité linéique $C / ℓ$ . Application au câble RG58 : $R_{1} = 0, 45 mm$ , $R_{2} = 1, 47 mm$ . La valeur mesurée est d'environ $100 pF m^{- 1}$ ; l'isolant du câble est du polyéthylène, $ε_{r} = 2, 25$ : expliquer l'écart.

3) Cas limite. On pose $R_{2} = R_{1} + e$ avec $e ≪ R_{1}$ . Montrer que l'on retrouve la capacité d'un condensateur plan, dont on précisera l'aire. Comparer les deux expressions pour $e / R_{1} = 1 0^{- 2}$ .

4) Calculer l'énergie stockée par unité de longueur à partir de la densité $u_{e} = \frac{1}{2} ε_{0} E^{2}$ , et vérifier qu'elle vaut $\frac{1}{2} \frac{λ ^{2}}{C / ℓ}$ . Où l'énergie est-elle concentrée ?

5) Claquage. Où le champ est-il le plus intense ? L'exprimer en fonction de $U$ . Le câble est dans l'air, et le rayon intérieur de sa gaine est fixé, $R_{2} = 1, 0 cm$ . Exprimer la tension maximale $U_{m a x}$ en fonction de $R_{1}$ . Pour quelle valeur de $R_{1}$ est-elle la plus grande ? Calculer $U_{m a x}$ pour cette valeur, puis pour $R_{1} = 0, 5 mm$ et $R_{1} = 1 mm$ . Commenter.

Corrigé

La stratégie. Avec $ℓ ≫ R_{2}$ , le câble est infini loin de ses extrémités : symétries, Gauss sur un cylindre coaxial, circulation, capacité. Puis l'énergie par la densité, et une optimisation : le champ est maximal au ras du conducteur intérieur.

1) Le champ. Invariances : translation le long de l'axe et rotation autour de lui : $E$ ne dépend que de la distance $r$ à l'axe. Symétries : en $M$ , le plan qui contient $M$ et l'axe, et le plan perpendiculaire à l'axe passant par $M$ , sont plans de symétrie : $E = E (r) u_{r}$ . Gauss sur un cylindre coaxial de rayon $r$ et de hauteur $h$ : flux nul à travers les bases, $E (r) 2 π r h$ à travers la paroi.

$R_{1} < r < R_{2}$ : $Q_{int} = λh$ , donc $E (r) = \frac{λ}{2 π ε _{0} r}$ : la charge de la gaine n'y contribue pas.
À l'extérieur : $Q_{int} = λh - λh = 0$ , donc $E = 0$ : le câble chargé ne crée aucun champ à l'extérieur.

2) Capacité linéique. Par circulation le long d'un rayon : $U = \int_{R_{1}}^{R_{2}} \frac{λ}{2 π ε _{0} r} d r = \frac{λ}{2 π ε _{0}} ln \frac{R _{2}}{R _{1}}, \frac{C}{ℓ} = \frac{2 π ε _{0}}{ln ( R _{2} / R _{1} )} .$ Pour le RG58 : $ln (1, 47/0, 45) = 1, 18$ , et $C / ℓ \approx 47 pF m^{- 1}$ dans le vide. Le polyéthylène multiplie la capacité par $ε_{r} = 2, 25$ : $106 pF m^{- 1}$ , en accord avec la mesure à $6 %$ près. La capacité ne dépend que du rapport des rayons.

3) Le condensateur plan comme cas limite. Si $e ≪ R_{1}$ , $ln (1 + \frac{e}{R _{1}}) ≃ \frac{e}{R _{1}}$ , et $C ≃ \frac{ε _{0} ( 2 π R _{1} ℓ )}{e}$ : un condensateur plan d'aire $2 π R_{1} ℓ$ , la surface latérale du conducteur central. Pour $e / R_{1} = 1 0^{- 2}$ : $\frac{2 π ε _{0}}{ln 1 , 01} = 5, 588 nF m^{- 1}$ contre $\frac{2 π ε _{0}}{0 , 01} = 5, 561 nF m^{- 1}$ : $0, 5 %$ d'écart, la moitié de $e / R_{1}$ , comme l'annonce $ln (1 + u) ≃ u - u^{2} /2$ .

4) L'énergie, près du conducteur central. Le volume compris entre $r$ et $r + d r$ , par unité de longueur, vaut $2 π r d r$ : $\frac{W}{ℓ} = \int_{R_{1}}^{R_{2}} \frac{1}{2} ε_{0} (\frac{λ}{2 π ε _{0} r})^{2} 2 π r d r = \frac{λ ^{2}}{4 π ε _{0}} ln \frac{R _{2}}{R _{1}} = \frac{1}{2} \frac{λ ^{2}}{C / ℓ} .$ La densité d'énergie redonne l'énergie du condensateur. L'intégrande est en $1/ r$ : chaque « décade » de rayon contient la même énergie ; entre $R_{1}$ et $2 R_{1}$ se trouve déjà $ln 2/ ln 3, 27 \approx 58 %$ de l'énergie du RG58.

5) Le rayon optimal $R_{1} = R_{2} / e$ . Le champ décroît en $1/ r$ : il est maximal au ras du conducteur central, $E_{m a x} = \frac{U}{R _{1} ln ( R _{2} / R _{1} )}$ . Le claquage survient quand $E_{m a x} = E_{d}$ : $U_{m a x} = E_{d} R_{1} ln \frac{R _{2}}{R _{1}} = E_{d} R_{2} f (x)$ , avec $x = R_{1} / R_{2}$ et $f (x) = - x ln x$ . Or $f^{'} (x) = - ln x - 1$ s'annule pour $x = 1/ e$ , où $f = 1/ e$ : $R_{1}^{opt} = \frac{R _{2}}{e} = 3, 7 mm, U_{m a x} = \frac{E _{d} R _{2}}{e} = \frac{3 , 0 \times 1 0 ^{6} \times 1 , 0 \times 1 0 ^{- 2}}{2 , 718} \approx 11 kV .$ Pour $R_{1} = 1 mm$ : $3, 0 \times 1 0^{6} \times 1 0^{- 3} \times ln 10 \approx 6, 9 kV$ ; pour $R_{1} = 0, 5 mm$ : $3, 0 \times 1 0^{6} \times 5 \times 1 0^{- 4} \times ln 20 \approx 4, 5 kV$ .

Commentaire. Un conducteur central trop fin concentre le champ et claque le premier ; trop gros, il laisse un intervalle trop étroit. L'optimum est plat : entre $R_{1} = 2$ et $5 mm$ , $U_{m a x}$ reste au-dessus de $9, 6 kV$ . C'est une règle de conception des câbles haute tension.

Ce que l'exercice installe. Le schéma symétries, Gauss, circulation, capacité sur la géométrie cylindrique ; le cas limite plan ; la densité d'énergie qui redonne l'énergie du condensateur et dit où elle se trouve ; et un réflexe d'ingénieur : le claquage se joue au ras du conducteur le plus courbé, et se retarde par un rapport de rayons, $R_{2} / R_{1} = e$ .

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